与えられた3つの式をそれぞれ計算し、簡単にしてください。 (1) $(\sqrt{2} + 1)^2 - 3$ (2) $\sqrt{18} + (\sqrt{2} - 1)^2$ (3) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{2}(\sqrt{2} + 5)$

1. 問題の内容

与えられた3つの式をそれぞれ計算し、簡単にしてください。

(1) $(\sqrt{2} + 1)^2 - 3$

(2) $\sqrt{18} + (\sqrt{2} - 1)^2$

(3) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{2}(\sqrt{2} + 5)$

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{2} + 1)^2 - 3$

二乗の展開公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を利用します。

$(\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

したがって、

$(\sqrt{2} + 1)^2 - 3 = (3 + 2\sqrt{2}) - 3 = 2\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{18} + (\sqrt{2} - 1)^2$

$\sqrt{18}$ を簡単にします。$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$(\sqrt{2} - 1)^2$ を展開します。 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を利用します。

$(\sqrt{2} - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$

したがって、

$\sqrt{18} + (\sqrt{2} - 1)^2 = 3\sqrt{2} + (3 - 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} + 3 = 3 + \sqrt{2}$

(3) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{2}(\sqrt{2} + 5)$

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ を計算します。和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用します。

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$

次に、$-\sqrt{2}(\sqrt{2} + 5)$ を計算します。

$-\sqrt{2}(\sqrt{2} + 5) = -\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 5 = -2 - 5\sqrt{2}$

したがって、

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{2}(\sqrt{2} + 5) = -1 - 2 - 5\sqrt{2} = -3 - 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2}$

(2) $3 + \sqrt{2}$

(3) $-3 - 5\sqrt{2}$