画像に写っている数学の問題を解きます。問題は、式の展開、因数分解、二次関数の頂点の計算、最大値・最小値の計算、微分、関数の最大値・最小値の計算です。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解きます。問題は、式の展開、因数分解、二次関数の頂点の計算、最大値・最小値の計算、微分、関数の最大値・最小値の計算です。

2. 解き方の手順

問題ごとに手順を説明します。

**問

1. 式の展開**

(1) $(x+5)(x-3)$

手順：分配法則を用いて展開します。

$(x+5)(x-3) = x(x-3) + 5(x-3) = x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15$

(2) $(x-3y+4)^2$

手順：$(A+B+C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CA$の公式を利用します。

$(x-3y+4)^2 = x^2 + (-3y)^2 + 4^2 + 2x(-3y) + 2(-3y)(4) + 2(4)x$

$= x^2 + 9y^2 + 16 - 6xy - 24y + 8x$

$= x^2 + 9y^2 - 6xy + 8x - 24y + 16$

(3) $(x+2y)(x-2y)$

手順：和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$(x+2y)(x-2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$

**問

2. 式の因数分解**

(1) $x^2 - 12x + 20$

手順：足して-12, 掛けて20になる2つの数を見つけます。それは-2と-10です。

$x^2 - 12x + 20 = (x-2)(x-10)$

(2) $9x^2 - 25$

手順：差の二乗の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x+5)(3x-5)$

(3) $5a(a-4) - 2(4-a)$

手順：共通因数を見つけてくくり出します。

$5a(a-4) - 2(4-a) = 5a(a-4) + 2(a-4) = (a-4)(5a+2)$

**問

3. 二次関数の頂点を求めよ**

(1) $y = 2x^2 - 2x - 2$

手順：平方完成します。

$y = 2(x^2 - x) - 2 = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 2 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{2}$

頂点は $(\frac{1}{2}, -\frac{5}{2})$

(2) $y = -x^2 + 4x - 4$

手順：平方完成します。

$y = -(x^2 - 4x) - 4 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 4 = -(x-2)^2 + 4 - 4 = -(x-2)^2$

頂点は $(2, 0)$

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 - x$

手順：平方完成します。

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x) = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) = -\frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{1}{2}$

頂点は $(-1, \frac{1}{2})$

**問

4. 以下を答えよ**

(1) $y = x^2 + 1 \ (-2 \le x \le 3)$ の最大値と最小値を答えよ。

手順：$y = x^2 + 1$は下に凸の放物線で、軸は$x = 0$です。区間$-2 \le x \le 3$において、

$x = 0$で最小値を取り、$x = 3$で最大値を取ります。

$x = 0$のとき、$y = 0^2 + 1 = 1$

$x = 3$のとき、$y = 3^2 + 1 = 10$

最小値は1、最大値は10

(2) 二次方程式 $x^2 + 5x - 4 = 0$ の根を求めよ。

手順：解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用います。

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

根は $x = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$ と $x = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}$

(3) 方程式 $4^x - 3(2^x) + 2 = 0$ の根 $x$ を求めよ。

手順：$2^x = t$ とおくと、$4^x = (2^x)^2 = t^2$。

$t^2 - 3t + 2 = 0$

$(t-1)(t-2) = 0$

$t = 1, 2$

$2^x = 1$ のとき、$x = 0$

$2^x = 2$ のとき、$x = 1$

根は $x = 0, 1$

**問

5. 以下の $f(x)$ の微分 $f'(x)$ を答えよ**

(1) $f(x) = x^3 - 5x + 2$

$f'(x) = 3x^2 - 5$

(2) $f(x) = 7x^3 - 1$

$f'(x) = 21x^2$

(3) $f(x) = -x^2 + 5$

$f'(x) = -2x$

**問

6. 以下の関数 $f(x)$ の最大値、最小値を答えよ。ただし最大値もしくは最小値を持たない場合は、存在しないと答えよ**

(1) $y = x^3 - 12x \ (-3 \le x \le 3)$

手順：微分して増減を調べます。

$y' = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)$

$y' = 0$ となるのは $x = -2, 2$

$x=-3$ のとき $y = (-3)^3 - 12(-3) = -27 + 36 = 9$

$x=-2$ のとき $y = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16$

$x=2$ のとき $y = (2)^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$

$x=3$ のとき $y = (3)^3 - 12(3) = 27 - 36 = -9$

最大値は16、最小値は-16

(2) $y = x^3 - 6x^2 + 9x \ (0 < x < 4)$

手順：微分して増減を調べます。

$y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$

$y' = 0$ となるのは $x = 1, 3$

$x=1$ のとき $y = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4$

$x=3$ のとき $y = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0$

$x=0$ に近づくと、$y$ は0に近づきます。

$x=4$ に近づくと、$y$ は $4^3 - 6(4^2) + 9(4) = 64 - 96 + 36 = 4$ に近づきます。

$x$ の範囲が開区間 $(0 < x < 4)$ なので、最大値と最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

**問1.**

(1) $x^2 + 2x - 15$

(2) $x^2 + 9y^2 - 6xy + 8x - 24y + 16$

(3) $x^2 - 4y^2$

**問2.**

(1) $(x-2)(x-10)$

(2) $(3x+5)(3x-5)$

(3) $(a-4)(5a+2)$

**問3.**

(1) $(\frac{1}{2}, -\frac{5}{2})$

(2) $(2, 0)$

(3) $(-1, \frac{1}{2})$

**問4.**

(1) 最大値: 10, 最小値: 1

(2) $x = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}, \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}$

(3) $x = 0, 1$

**問5.**

(1) $f'(x) = 3x^2 - 5$

(2) $f'(x) = 21x^2$

(3) $f'(x) = -2x$

**問6.**

(1) 最大値: 16, 最小値: -16

(2) 最大値: 存在しない, 最小値: 存在しない