2次正方行列 $A$ であって、$A^2 = O$ (零行列) を満たすものを求めよ。

1. 問題の内容

2次正方行列 $A$ であって、$A^2 = O$ (零行列) を満たすものを求めよ。

2. 解き方の手順

$A$ を2次正方行列とすると、

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

と表せる。ここで、$a, b, c, d$ は実数である。

$A^2$ を計算すると、

$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ca + dc & cb + d^2 \end{pmatrix}$

これが零行列 $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ に等しいので、

$a^2 + bc = 0$ ...(1)

$ab + bd = b(a+d) = 0$ ...(2)

$ca + dc = c(a+d) = 0$ ...(3)

$cb + d^2 = 0$ ...(4)

(1)と(4)より、$a^2 = -bc$ かつ $d^2 = -bc$ であるから、$a^2 = d^2$。したがって、$a = \pm d$。

(2)と(3)より、$b(a+d) = 0$ かつ $c(a+d) = 0$。

i) $a + d \neq 0$ のとき、$b = 0$ かつ $c = 0$。

このとき、$a^2 = 0$ かつ $d^2 = 0$ より、$a = 0$ かつ $d = 0$。

これは、$a + d = 0$ に矛盾するので、この場合は起こりえない。

ii) $a + d = 0$ のとき、$d = -a$。

(1)より、$a^2 + bc = 0$。つまり、$bc = -a^2$。

$a, b, c$ は任意の実数であり、$d = -a$、かつ $bc = -a^2$ を満たす。

したがって、求める行列は

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$, $bc = -a^2$

と表せる。

特別な例として、$a = 0$ のとき、$bc = 0$ なので、$b = 0$ または $c = 0$。

$A = \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ または $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}$

別の特別な例として、$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ は明らかに $A^2 = O$ を満たす。

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$, $bc = -a^2$