$A^2 = O$（零行列）となるような2次正方行列$A$を求める問題です。

1. 問題の内容

$A^2 = O$（零行列）となるような2次正方行列$A$を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次正方行列$A$を

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

とおきます。$A^2 = O$となる条件を求めます。

$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ca + dc & cb + d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、以下の連立方程式を得ます。

$a^2 + bc = 0$

$ab + bd = b(a+d) = 0$

$ca + dc = c(a+d) = 0$

$cb + d^2 = 0$

上記の連立方程式を解きます。

場合分けを行います。

(1) $a+d \neq 0$ のとき、$b=0$ かつ $c=0$。

このとき、$a^2 = 0$ かつ $d^2 = 0$。

したがって、$a=0$ かつ $d=0$。これは $a+d \neq 0$ に矛盾します。

(2) $a+d = 0$ のとき、$d = -a$ となります。

$a^2 + bc = 0$ より、$bc = -a^2$

$cb + d^2 = 0$ より、$cb + a^2 = 0$。これは、$cb=-a^2$と同値です。

したがって、$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ かつ $bc = -a^2$。

3. 最終的な答え

条件を満たす行列は、

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ （ただし、$bc = -a^2$）

特に、$a=b=c=0$のとき、$A=O$となります。

具体例：

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$

など。