次の2つの有理式の計算問題を解きます。 (1) $\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$ (2) $\frac{4x}{x^2-1} - \frac{x-1}{x^2+x}$

1. 問題の内容

次の2つの有理式の計算問題を解きます。

(1) $\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

(2) $\frac{4x}{x^2-1} - \frac{x-1}{x^2+x}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

分母を揃えるために、それぞれの項を通分します。共通の分母は $x(x+1)$ です。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{1(x+1)}{x(x+1)} - \frac{1(x)}{x(x+1)}$

$= \frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)}$

$= \frac{(x+1)-x}{x(x+1)}$

$= \frac{1}{x(x+1)}$

$= \frac{1}{x^2+x}$

(2) $\frac{4x}{x^2-1} - \frac{x-1}{x^2+x}$

まず、分母を因数分解します。

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

$x^2+x = x(x+1)$

したがって、

$\frac{4x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{x(x+1)}$

共通の分母は $x(x-1)(x+1)$ です。

$\frac{4x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{x(x+1)} = \frac{4x(x)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{(x-1)(x-1)}{x(x+1)(x-1)}$

$= \frac{4x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{(x-1)^2}{x(x-1)(x+1)}$

$= \frac{4x^2 - (x^2 - 2x + 1)}{x(x-1)(x+1)}$

$= \frac{4x^2 - x^2 + 2x - 1}{x(x-1)(x+1)}$

$= \frac{3x^2 + 2x - 1}{x(x-1)(x+1)}$

分子を因数分解します。

$3x^2 + 2x - 1 = (3x-1)(x+1)$

$\frac{(3x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}$

$= \frac{3x-1}{x(x-1)}$

$= \frac{3x-1}{x^2-x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x^2+x}$

(2) $\frac{3x-1}{x^2-x}$