与えられた式の値を計算します。式は次の通りです。 $\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7}+3}$

1. 問題の内容

与えられた式の値を計算します。式は次の通りです。

$\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7}+3}$

2. 解き方の手順

各項を有理化します。有理化とは、分母にルートが含まれていない形に変形することです。各項の分母の共役複素数を分子と分母に掛けます。

第1項:

$\frac{1}{1+\sqrt{3}} = \frac{1}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{1-\sqrt{3}}{1-3} = \frac{1-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

第2項:

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3-5} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

第3項:

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{5}-\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{5-7} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{-2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

第4項:

$\frac{1}{\sqrt{7}+3} = \frac{1}{\sqrt{7}+3} \cdot \frac{\sqrt{7}-3}{\sqrt{7}-3} = \frac{\sqrt{7}-3}{7-9} = \frac{\sqrt{7}-3}{-2} = \frac{3-\sqrt{7}}{2}$

これらの項を足し合わせます。

$\frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} + \frac{3-\sqrt{7}}{2} = \frac{(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + (\sqrt{7}-\sqrt{5}) + (3-\sqrt{7})}{2}$

$= \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{5} + 3 - \sqrt{7}}{2}$

$= \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

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