3つのベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ が$R^3$を張らないことを、これらのベクトルが張る空間に含まれないベクトルを与えることで証明する。

## 問題9

1. 問題の内容

3つのベクトル

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$

が$R^3$を張らないことを、これらのベクトルが張る空間に含まれないベクトルを与えることで証明する。

2. 解き方の手順

3つのベクトルが$R^3$を張るかどうかを確認するために、これらのベクトルを列ベクトルとして持つ行列の行列式を計算します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

行列式を計算すると、

$det(A) = 1(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1) - 1(2 \cdot 1 - 4 \cdot 1) + 1(2 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = 1(-1) - 1(-2) + 1(-1) = -1 + 2 - 1 = 0$

行列式が0であるため、これらの3つのベクトルは線形従属であり、$R^3$を張りません。これらが張る空間は$R^3$より低い次元を持つため、$R^3$に含まれるが、これらのベクトルの線形結合で表せないベクトルが存在します。

これらのベクトルが張る空間に含まれないベクトルを見つける必要があります。例えば、$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$を試してみましょう。もし$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$がこれらのベクトルの線形結合で表せるならば、以下のようなスカラー$c_1$, $c_2$, $c_3$が存在することになります。

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは次の連立方程式に対応します。

$c_1 + c_2 + c_3 = 0$

$2c_1 + 3c_2 + 4c_3 = 1$

$c_1 + c_2 + c_3 = 0$

最初の式と3番目の式は同じであるため、この連立方程式は解を持つためには、2番目の式は独立である必要があります。

1番目の式と2番目の式から$c_1$を消去すると

$c_1 = -c_2 - c_3$

$2(-c_2 - c_3) + 3c_2 + 4c_3 = 1$

$-2c_2 - 2c_3 + 3c_2 + 4c_3 = 1$

$c_2 + 2c_3 = 1$

$c_2 = 1 - 2c_3$

したがって、

$c_1 = - (1 - 2c_3) - c_3 = -1 + 2c_3 - c_3 = -1 + c_3$

したがって、解が存在し、例えば$c_3 = 0$なら、$c_2 = 1$と$c_1 = -1$。

$-1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 1 + 0 \\ -2 + 3 + 0 \\ -1 + 1 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$が与えられたベクトルの線形結合で表せることを示しています。

別のベクトルを試してみましょう。例えば、$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。

もし$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$が与えられたベクトルの線形結合で表せるならば、以下のようなスカラー$c_1$, $c_2$, $c_3$が存在することになります。

$c_1 + c_2 + c_3 = 0$

$2c_1 + 3c_2 + 4c_3 = 0$

$c_1 + c_2 + c_3 = 1$

$c_1 + c_2 + c_3 = 0$と$c_1 + c_2 + c_3 = 1$は矛盾しているため、連立方程式は解を持ちません。したがって、$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$は与えられたベクトルの線形結合で表せません。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

## 問題10

1. 問題の内容

与えられた3つのベクトル

$\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 7 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\vec{v_3} = \begin{bmatrix} 22 \\ -4 \\ k \end{bmatrix}$

が、$R^3$の基底を形成するための$k$の条件を求める。

2. 解き方の手順

3つのベクトルが$R^3$の基底を形成するためには、これらのベクトルが線形独立でなければなりません。これは、これらのベクトルを列ベクトルとして持つ行列の行列式がゼロでないことと同値です。

$A = \begin{bmatrix} 7 & -3 & 22 \\ -3 & 4 & -4 \\ 0 & 4 & k \end{bmatrix}$

行列式を計算します。

$det(A) = 7(4k - (-4)(4)) - (-3)((-3)k - (-4)(0)) + 22((-3)(4) - (4)(0)) = 7(4k + 16) + 3(-3k) + 22(-12) = 28k + 112 - 9k - 264 = 19k - 152$

これらのベクトルが$R^3$の基底を形成するためには、$det(A) \neq 0$である必要があります。

$19k - 152 \neq 0$

$19k \neq 152$

$k \neq \frac{152}{19}$

$k \neq 8$

3. 最終的な答え

$k \neq 8$