$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とする。$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とする。$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を有理化します。分母と分子に $2 + \sqrt{3}$ を掛けると、

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

次に、$\sqrt{3}$ の近似値を考えます。$\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$ より、$1 < \sqrt{3} < 2$ です。

より詳しく評価すると、

$1.7^2 = 2.89 < 3$

$1.8^2 = 3.24 > 3$

より、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ がわかります。

したがって、$2 + 1.7 < 2 + \sqrt{3} < 2 + 1.8$

$3.7 < 2 + \sqrt{3} < 3.8$

よって、$2 + \sqrt{3}$ の整数部分は $3$ であることがわかります。つまり、$a = 3$ です。

小数部分 $b$ は、$2 + \sqrt{3}$ から整数部分 $3$ を引いたものなので、

$b = (2 + \sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3} - 1$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = \sqrt{3} - 1$