$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$、$y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $x^2y + xy^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$、$y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $x^2y + xy^2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

(2) $xy$を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

(3) $x^2+y^2$を計算します。問題文に$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$とあるので、これを利用します。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{3})^2 - 2(-\frac{1}{2}) = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$

(4) $x^2y + xy^2$を計算します。

$x^2y + xy^2 = xy(x+y) = (-\frac{1}{2})(\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{3}$

(2) $xy = -\frac{1}{2}$

(3) $x^2+y^2 = 4$

(4) $x^2y + xy^2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$