次の6つの式を計算します。 (1) $(4\sqrt{2}+3\sqrt{5})(2\sqrt{2}-\sqrt{5})$ (2) $(2\sqrt{3}-\sqrt{6})(\sqrt{3}+3\sqrt{6})$ (3) $(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2$ (4) $(\sqrt{6}-2)^2$ (5) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ (6) $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})$

1. 問題の内容

次の6つの式を計算します。

(1) $(4\sqrt{2}+3\sqrt{5})(2\sqrt{2}-\sqrt{5})$

(2) $(2\sqrt{3}-\sqrt{6})(\sqrt{3}+3\sqrt{6})$

(3) $(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2$

(4) $(\sqrt{6}-2)^2$

(5) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

(6) $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})$

2. 解き方の手順

(1) 分配法則を用いて展開します。

$(4\sqrt{2}+3\sqrt{5})(2\sqrt{2}-\sqrt{5}) = 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2}\cdot \sqrt{5} + 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} - 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$

$= 8 \cdot 2 - 4\sqrt{10} + 6\sqrt{10} - 3 \cdot 5$

$= 16 + 2\sqrt{10} - 15$

$= 1 + 2\sqrt{10}$

(2) 分配法則を用いて展開します。

$(2\sqrt{3}-\sqrt{6})(\sqrt{3}+3\sqrt{6}) = 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{6} - \sqrt{6}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{6}\cdot 3\sqrt{6}$

$= 2 \cdot 3 + 6\sqrt{18} - \sqrt{18} - 3 \cdot 6$

$= 6 + 5\sqrt{18} - 18$

$= -12 + 5\sqrt{9 \cdot 2}$

$= -12 + 5 \cdot 3\sqrt{2}$

$= -12 + 15\sqrt{2}$

(3) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を用いて展開します。

$(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

$= 7 + 2\sqrt{21} + 3$

$= 10 + 2\sqrt{21}$

(4) $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を用いて展開します。

$(\sqrt{6}-2)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2\cdot\sqrt{6}\cdot 2 + 2^2$

$= 6 - 4\sqrt{6} + 4$

$= 10 - 4\sqrt{6}$

(5) $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用いて計算します。

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$

$= 3 - 2$

$= 1$

(6) $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を用いて計算します。

$(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2$

$= 9 - 5$

$= 4$

3. 最終的な答え

(1) $1 + 2\sqrt{10}$

(2) $-12 + 15\sqrt{2}$

(3) $10 + 2\sqrt{21}$

(4) $10 - 4\sqrt{6}$

(5) $1$

(6) $4$