速度 $v(t)$ が $v(t) = v_0 - gt$ で与えられている一次元の運動について、以下の問いに答える問題です。$v_0$ と $g$ は正の定数です。 (1) 加速度 $a(t)$ を求めます。 (2) $t=0$ での位置を $x(0) = 0$ とするとき、$t$ における物体の位置 $x(t)$ を求めます。 (3) $v$-$t$ 図を描き、$v$軸、$t$軸との交点の座標を明記します。 (4) $x$-$t$ 図を描き、$t$軸との交点と最大値の座標を明記します。

1. 問題の内容

速度 $v(t)$ が $v(t) = v_0 - gt$ で与えられている一次元の運動について、以下の問いに答える問題です。$v_0$ と $g$ は正の定数です。

(1) 加速度 $a(t)$ を求めます。

(2) $t=0$ での位置を $x(0) = 0$ とするとき、$t$ における物体の位置 $x(t)$ を求めます。

(3) $v$-$t$ 図を描き、$v$軸、$t$軸との交点の座標を明記します。

(4) $x$-$t$ 図を描き、$t$軸との交点と最大値の座標を明記します。

2. 解き方の手順

(1) 加速度 $a(t)$ は速度 $v(t)$ の時間微分で求められます。

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(v_0 - gt) = -g$

(2) 位置 $x(t)$ は速度 $v(t)$ を時間積分することで求められます。

$x(t) = \int v(t) dt = \int (v_0 - gt) dt = v_0t - \frac{1}{2}gt^2 + C$

初期条件 $x(0) = 0$ より、$C = 0$ なので、

$x(t) = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$

(3) $v$-$t$ 図は $v(t) = v_0 - gt$ のグラフです。

$v$軸との交点は $t = 0$ のとき、$v = v_0$ なので、座標は $(0, v_0)$ です。

$t$軸との交点は $v = 0$ のとき、$0 = v_0 - gt$ より、$t = \frac{v_0}{g}$ なので、座標は $(\frac{v_0}{g}, 0)$ です。

(4) $x$-$t$ 図は $x(t) = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$ のグラフです。

$t$軸との交点は $x(t) = 0$ となる $t$ の値を求めます。$v_0t - \frac{1}{2}gt^2 = t(v_0 - \frac{1}{2}gt) = 0$ なので、$t = 0$ と $t = \frac{2v_0}{g}$ です。よって、$t$軸との交点の座標は $(0, 0)$ と $(\frac{2v_0}{g}, 0)$ です。

最大値は $x(t)$ を微分して0となる $t$ の値を求めます。$\frac{dx(t)}{dt} = v_0 - gt = 0$ より、$t = \frac{v_0}{g}$ です。このとき、$x(\frac{v_0}{g}) = v_0(\frac{v_0}{g}) - \frac{1}{2}g(\frac{v_0}{g})^2 = \frac{v_0^2}{g} - \frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g} = \frac{v_0^2}{2g}$ です。よって、最大値の座標は $(\frac{v_0}{g}, \frac{v_0^2}{2g})$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a(t) = -g$ [m/s$^2$]

(2) $x(t) = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$ [m]

(3) $v$-$t$ 図の $v$軸との交点の座標は $(0, v_0)$、$t$軸との交点の座標は $(\frac{v_0}{g}, 0)$

(4) $x$-$t$ 図の $t$軸との交点の座標は $(0, 0)$ と $(\frac{2v_0}{g}, 0)$、最大値の座標は $(\frac{v_0}{g}, \frac{v_0^2}{2g})$