3つの3次元ベクトル $\mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b}_3 = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の3つのベクトルを計算する。 (1) $\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_3$ (2) $4\mathbf{b}_1 + 4\mathbf{b}_2 + 4\mathbf{b}_3$ (3) $-2\mathbf{b}_1 + 3\mathbf{b}_2 - \mathbf{b}_3$

1. 問題の内容

3つの3次元ベクトル $\mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b}_3 = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の3つのベクトルを計算する。

(1) $\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_3$

(2) $4\mathbf{b}_1 + 4\mathbf{b}_2 + 4\mathbf{b}_3$

(3) $-2\mathbf{b}_1 + 3\mathbf{b}_2 - \mathbf{b}_3$

2. 解き方の手順

ベクトルの和とスカラー倍の定義に従って計算する。

(1) $\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_3$

= $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 1+2+4 \\ 1+3+7 \\ 2+(-1)+(-7) \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 7 \\ 11 \\ -6 \end{pmatrix}$

(2) $4\mathbf{b}_1 + 4\mathbf{b}_2 + 4\mathbf{b}_3$

= $4(\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_3)$

= $4 \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \\ -6 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 4 \cdot 7 \\ 4 \cdot 11 \\ 4 \cdot (-6) \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 28 \\ 44 \\ -24 \end{pmatrix}$

(3) $-2\mathbf{b}_1 + 3\mathbf{b}_2 - \mathbf{b}_3$

= $-2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} -2+6-4 \\ -2+9-7 \\ -4-3-(-7) \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_3 = \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \\ -6 \end{pmatrix}$

(2) $4\mathbf{b}_1 + 4\mathbf{b}_2 + 4\mathbf{b}_3 = \begin{pmatrix} 28 \\ 44 \\ -24 \end{pmatrix}$

(3) $-2\mathbf{b}_1 + 3\mathbf{b}_2 - \mathbf{b}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$