与えられた式 $(a+2b)^2 (a-2b)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+2b)^2 (a-2b)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$(a+2b)^2 (a-2b)^2 = [(a+2b)(a-2b)]^2$

次に、$(a+2b)(a-2b)$ を計算します。これは和と差の積の公式 $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ を用いることができます。

$(a+2b)(a-2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$

したがって、

$[(a+2b)(a-2b)]^2 = (a^2 - 4b^2)^2$

最後に、$(a^2 - 4b^2)^2$ を展開します。これは二項の平方の公式 $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ を用いることができます。

$(a^2 - 4b^2)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(4b^2) + (4b^2)^2$

$= a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

3. 最終的な答え

$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$