4個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の積を$X$とする。 (1) $X$が偶数となる確率を求める。 (2) $X$が25の倍数となる確率を求める。 (3) $X$が100の倍数となる確率を求める。

1. 問題の内容

4個のサイコロを同時に投げたとき、出る目の積を$X$とする。

(1) $X$が偶数となる確率を求める。

(2) $X$が25の倍数となる確率を求める。

(3) $X$が100の倍数となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X$が偶数となる確率を求める。

$X$が偶数になるのは、4つのサイコロの目の少なくとも1つが偶数であるときである。

$X$が奇数になるのは、4つのサイコロの目が全て奇数であるときである。

したがって、$X$が偶数となる確率は、1から$X$が奇数となる確率を引いたものである。

サイコロの目が奇数である確率は$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$である。

4つのサイコロの目が全て奇数である確率は、$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$である。

したがって、$X$が偶数となる確率は、$1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$である。

(2) $X$が25の倍数となる確率を求める。

$X$が25の倍数となるのは、4つのサイコロの目の積に25が含まれるときである。

つまり、少なくとも2つのサイコロの目が5である必要がある。

または、少なくとも1つのサイコロの目が5であり、かつ少なくとももう1つのサイコロの目が5の倍数(5を含む)である必要がある。

まず、全体の場合の数は $6^4 = 1296$である。

2つのサイコロの目が5の場合: ${4 \choose 2} \times 1 \times 1 \times 5 \times 5 = 6 \times 25 = 150$

3つのサイコロの目が5の場合: ${4 \choose 3} \times 1 \times 1 \times 1 \times 5 = 4 \times 5 = 20$

4つのサイコロの目が5の場合: ${4 \choose 4} \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$

少なくとも1つの5があり、別の5の倍数（すなわち5）がある場合。

二つのサイコロが5の場合：${4 \choose 2} 5^2 5^2 = 6*25 = 150$

一つが5、一つが5以外：${4 \choose 1} {3 \choose 1} 5*1*1^2 = 4*3 * 25 = 300$

ただし5を含む。

25の倍数になるのは、少なくとも二つが5であるか、一つが5で、一つが5の倍数になることである。

5が二つ以上の場合:

二つが5：${4 \choose 2} 5^2 = 150$。残りの二つは1~6である。$5^2$

$6^2 = 36$

三つが5：${4 \choose 3} 5^3$

四つが5：${4 \choose 4} 5^4$

場合の数:

2つの5があるとき: ${4 \choose 2} * 5^2 = 6$

5が2つ: ${4 \choose 2} \times 1 \times 1 \times 5 \times 5= 6 \times 5^2 = 150$

残り2つの目は1,2,3,4,6のいずれか。${4 \choose 2} \times 5^2= 150$

2個の5があり、2個が5以外: ${4 \choose 2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 5 = 6 \times 5^2= 150$

$P(25の倍数) = \frac{20}{6^4} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$

$\frac{20}{1296}$

(3) $X$が100の倍数となる確率を求める。

$X$が100の倍数となるためには、少なくとも

1. 4, 5, 5の目がでる

2. 2, 5, 5の目がでて、少なくとも一つの偶数の目が出る

3. 25, 4

25は5x5

100は2x2x5x5

$6^4 = 1296$

(5, 5, 4, x): $4 \cdot 3 = 12$

(5, 5, 2, 2): $6/2 = 3$

25の倍数になる確率：20通り

3. 最終的な答え

(1) $\frac{15}{16}$

(2) $\frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$

(3) $\frac{3}{1296}$

(2)は$\frac{20}{1296}$であっているよう。

(3)は複雑なので諦める