媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表されるとき、$xy$ 平面上でどのような曲線を描くか、図示する問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表されるとき、$xy$ 平面上でどのような曲線を描くか、図示する問題です。

2. 解き方の手順

媒介変数表示された式から $t$ を消去することを考えます。

$x^2 + y^2$ を計算してみます。

$x^2 = (\frac{1-t^2}{1+t^2})^2 = \frac{1-2t^2+t^4}{(1+t^2)^2}$

$y^2 = (\frac{4t}{1+t^2})^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$

したがって、

$x^2 + y^2 = \frac{1-2t^2+t^4+16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1+14t^2+t^4}{(1+t^2)^2}$

これはうまくいきません。

別の方法を考えます。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, y = \frac{4t}{1+t^2}$ より、

$x(1+t^2) = 1 - t^2$

$y(1+t^2) = 4t$

これらの式を整理すると

$x+xt^2 = 1-t^2$

$y+yt^2 = 4t$

$t^2(x+1) = 1-x$

$t^2 = \frac{1-x}{1+x}$

$yt^2 + y = 4t$

$t^2 = \frac{4t-y}{y}$

したがって、

$\frac{1-x}{1+x} = (\frac{y}{4})^2 \frac{(1+x)^2}{(1-x)^2}$

この式をさらに整理すると、$x$と$y$の関係式が得られます。

$x^2 + y^2$が簡単に計算できるようにするために、$y$の式を$2t$にしてみます。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$y' = \frac{2t}{1+t^2}$

$x^2 = \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}$

$y'^2 = \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}$

$x^2+y'^2 = \frac{1-2t^2+t^4 + 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1+2t^2+t^4}{(1+t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 1$

したがって$x^2 + y'^2 = 1$

$y' = \frac{2t}{1+t^2}$なので、$y=2y'$ とおくと

$y = \frac{4t}{1+t^2}$となり、題意の式になります。

$x^2+(\frac{y}{2})^2 = 1$

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$

3. 最終的な答え

楕円：$\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$

これは、$x$軸方向に半径1、$y$軸方向に半径2の楕円を表します。