点A(2, 4)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

点A(2, 4)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

接点を $(x_1, y_1)$ とおく。接線の方程式は $x_1x + y_1y = 10$ と表せる。

この接線が点A(2, 4)を通るので、

$2x_1 + 4y_1 = 10$

$x_1 + 2y_1 = 5$

$x_1 = 5 - 2y_1$

また、接点 $(x_1, y_1)$ は円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点なので、

$x_1^2 + y_1^2 = 10$

$x_1 = 5 - 2y_1$ を代入すると、

$(5 - 2y_1)^2 + y_1^2 = 10$

$25 - 20y_1 + 4y_1^2 + y_1^2 = 10$

$5y_1^2 - 20y_1 + 15 = 0$

$y_1^2 - 4y_1 + 3 = 0$

$(y_1 - 1)(y_1 - 3) = 0$

$y_1 = 1, 3$

$y_1 = 1$ のとき、 $x_1 = 5 - 2(1) = 3$

$y_1 = 3$ のとき、 $x_1 = 5 - 2(3) = -1$

したがって、接点は (3, 1) と (-1, 3) となる。

接線の方程式は、

接点 (3, 1) のとき、 $3x + y = 10$

接点 (-1, 3) のとき、 $-x + 3y = 10$

3. 最終的な答え

接点の座標: (3, 1), (-1, 3)

接線の方程式: $3x + y = 10$, $-x + 3y = 10$