平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3:2に内分する点をE、対角線BDを3:5に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3:2に内分する点をE、対角線BDを3:5に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AD} = \vec{d}$とする。

点Eは辺BCを3:2に内分するので、$\vec{AE}$を$\vec{b}, \vec{d}$で表すと、

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{b} + \frac{3}{5}\vec{BC} = \vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}$

点Fは対角線BDを3:5に内分するので、$\vec{AF}$を$\vec{b}, \vec{d}$で表すと、

$\vec{AF} = \frac{5\vec{AB} + 3\vec{AD}}{3+5} = \frac{5\vec{b} + 3\vec{d}}{8} = \frac{5}{8}\vec{b} + \frac{3}{8}\vec{d}$

ここで、$\vec{AF} = k\vec{AE}$となるような実数kが存在すれば、3点A, F, Eは一直線上にある。

$\vec{AF} = \frac{5}{8}\vec{b} + \frac{3}{8}\vec{d} = k(\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}) = k\vec{b} + \frac{3}{5}k\vec{d}$

$\vec{b}, \vec{d}$は一次独立なので、係数を比較すると

$k = \frac{5}{8}$

$\frac{3}{5}k = \frac{3}{8}$

$k = \frac{5}{8}$を代入すると、

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$となり、矛盾しない。

したがって、$\vec{AF} = \frac{5}{8}\vec{AE}$が成り立つため、3点A, F, Eは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点A, F, Eは一直線上にある。