ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (-1, 1, -2)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, -1, 3)$ と $\vec{b} = (-1, 1, -2)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めます。これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算することで求められます。

$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-2) - (3)(1) \\ (3)(-1) - (2)(-2) \\ (2)(1) - (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 3 \\ -3 + 4 \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

次に、ベクトル $\vec{c}$ の大きさを計算します。

$|\vec{c}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

最後に、$\vec{c}$ をその大きさで割ることで、単位ベクトルを求めます。求めたい単位ベクトルは、$\vec{c}$ と同じ向きのベクトル $\vec{e_1}$ と、$\vec{c}$ と反対向きのベクトル $\vec{e_2}$ の2つあります。

$\vec{e_1} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix}$

$\vec{e_2} = -\vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

求める単位ベクトルは、

$\begin{pmatrix} -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \end{pmatrix}$