四面体ABCDにおいて、頂点をA($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$), D($\vec{d}$)とする。$\triangle$ACDの重心をG($\vec{g}$)、辺ABを2:1に内分する点をE($\vec{e}$)、線分EGの中点をP($\vec{p}$)とする。$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表せ。

はい、承知いたしました。問題9と10を解きます。

**問題9**

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、頂点をA($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$), D($\vec{d}$)とする。$\triangle$ACDの重心をG($\vec{g}$)、辺ABを2:1に内分する点をE($\vec{e}$)、線分EGの中点をP($\vec{p}$)とする。$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

* まず、$\triangle$ACDの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を求める。重心Gは各頂点の位置ベクトルの平均なので、

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

* 次に、辺ABを2:1に内分する点Eの位置ベクトル$\vec{e}$を求める。内分点の公式より、

$\vec{e} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}}{2+1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$

* 最後に、線分EGの中点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を求める。中点の公式より、

$\vec{p} = \frac{\vec{e} + \vec{g}}{2} = \frac{\frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3} + \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}}{2} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{6}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{6}$

**問題10**

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OA, BCを2:1に内分する点をそれぞれD,Eとし、線分DEの中点をRとする。直線ORと平面ABCの交点をPとし、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

* まず、点D,Eの位置ベクトルを求める。

点Dは辺OAを2:1に内分するので、$\vec{OD} = \frac{2}{3}\vec{a}$。

点Eは辺BCを2:1に内分するので、$\vec{OE} = \frac{1\vec{b} + 2\vec{c}}{3} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$。

* 次に、線分DEの中点Rの位置ベクトル$\vec{OR}$を求める。

$\vec{OR} = \frac{\vec{OD} + \vec{OE}}{2} = \frac{\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}}{2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{6}$

* 点Pは直線OR上にあるので、実数$k$を用いて$\vec{OP} = k\vec{OR} = k\frac{2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{6}$と表せる。

* 点Pは平面ABC上にあるので、$\vec{OP} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$と表せる。ただし、$s + t + u = 1$。

したがって、$k\frac{2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{6} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$である。

* 係数を比較すると、$s = \frac{2k}{6}, t = \frac{k}{6}, u = \frac{2k}{6}$となる。

$s+t+u=1$より、$\frac{2k}{6} + \frac{k}{6} + \frac{2k}{6} = 1$なので、$\frac{5k}{6} = 1$、したがって$k = \frac{6}{5}$。

* $\vec{OP} = k\frac{2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{6} = \frac{6}{5}\frac{2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{6} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{5}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{5}$