正七角形について、以下の個数を求める問題です。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 対角線の本数 (3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

1. 問題の内容

正七角形について、以下の個数を求める問題です。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 対角線の本数

(3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの公式 ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使って計算できます。

$n=7$, $r=3$ なので、

${}_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) 対角線の本数

正七角形の頂点の数は7つです。

ある1つの頂点から、自分自身とその両隣の頂点以外の頂点に線分を引くことができます。

したがって、各頂点から引ける対角線の数は $7 - 3 = 4$ 本です。

7つの頂点があるので $7 \times 4 = 28$ となりますが、各対角線は両端の頂点から引かれているため、2回数えられています。

したがって、対角線の総数は $\frac{7 \times 4}{2} = 14$ 本です。

あるいは、7個の頂点から2個を選ぶ組み合わせ ${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ から辺の数7を引いても求められます。

$21 - 7 = 14$

(3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

正七角形の2辺を共有する三角形は、それぞれの辺に対して一つずつ存在します。

したがって、正七角形と2辺を共有する三角形の個数は7個です。

3. 最終的な答え

(1) 35個

(2) 14本

(3) 7個