$\triangle ABC$ において、$AB=6$、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$、辺 $AB$ を $3:4$ に内分する点を $E$、辺 $AC$ を $1:2$ に内分する点を $F$ とする。線分 $AD$, $CE$, $BF$ が1点で交わるとき、辺 $AC$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB=6$、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$、辺 $AB$ を $3:4$ に内分する点を $E$、辺 $AC$ を $1:2$ に内分する点を $F$ とする。線分 $AD$, $CE$, $BF$ が1点で交わるとき、辺 $AC$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理を用いる。

チェバの定理より、

$$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$$

ここで、$AE:EB = 3:4$ より、$\frac{AE}{EB} = \frac{3}{4}$

また、$AF:FC = 2:1$ より、$\frac{CF}{FA} = \frac{1}{2}$

したがって、

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{1}{2} = 1$$

$$\frac{BD}{DC} = \frac{8}{3}$$

次に、角の二等分線の定理を用いる。

$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点が $D$ であるから、

$$AB:AC = BD:DC$$

$$6:AC = \frac{8}{3}$$

$$AC = 6 \cdot \frac{3}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$$

これは誤り。

角の二等分線の定理より $AB:AC = BD:DC$。

$AB = 6$、チェバの定理より $\frac{BD}{DC}=\frac{8}{3}$ なので、$6:AC = 8:3$ となり、

$8 \cdot AC = 6 \cdot 3 = 18$。

よって、$AC = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.

問題文をよく読み直す。角の二等分線と $BC$ の交点が $D$ であることから、$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$ が成り立つ。

また、チェバの定理より $\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$。

ここで、$\frac{AE}{EB} = \frac{3}{4}$, $\frac{CF}{FA} = \frac{1}{2}$ であるから、$\frac{3}{4} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

ゆえに $\frac{BD}{DC} = \frac{8}{3}$。

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{AC}$ なので、$\frac{6}{AC} = \frac{8}{3}$。

$8 AC = 18$。よって、$AC = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.

上記では、チェバの定理を用いたが、メネラウスの定理を用いる方法もある。

$\triangle ABC$ について、$BF,CE,AD$が一点で交わるので、

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$.

$AE/EB = 3/4, CF/FA = 1/2$ より、

$\frac{3}{4} \frac{BD}{DC} \frac{1}{2} = 1$。

$BD/DC = 8/3$.

角の二等分線より、$BD/DC = AB/AC$.

よって、$8/3 = 6/AC$.

$AC = 18/8 = 9/4$。

この方法でも、$AC = 9/4$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{9}{4}$