三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺OBを1:2に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとするとき、ベクトルOPをベクトルaとベクトルbを用いて表す問題です。ただし、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とします。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺OBを1:2に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとするとき、ベクトルOPをベクトルaとベクトルbを用いて表す問題です。ただし、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とします。

2. 解き方の手順

まず、点Cと点Dの位置ベクトルを$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表します。

CはOAを3:2に内分するので、

$\vec{OC} = \frac{3}{5}\vec{OA} = \frac{3}{5}\vec{a}$

DはOBを1:2に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{b}$

次に、点Pが線分AD上にあることから、実数sを用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD}$

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{3}\vec{b}$ (1)

また、点Pが線分BC上にあることから、実数tを用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC}$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + \frac{3t}{5}\vec{a}$ (2)

(1)と(2)を比較すると、

$(1-s)\vec{a} + \frac{s}{3}\vec{b} = \frac{3t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{3t}{5}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

この連立方程式を解きます。

$s = 3(1-t)$を$1-s = \frac{3t}{5}$に代入すると、

$1-3(1-t) = \frac{3t}{5}$

$1-3+3t = \frac{3t}{5}$

$3t - \frac{3t}{5} = 2$

$\frac{12t}{5} = 2$

$t = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

$s = 3(1-\frac{5}{6}) = 3(\frac{1}{6}) = \frac{1}{2}$

したがって、(1)または(2)に代入して$\vec{OP}$を求めます。

(2)に代入すると、

$\vec{OP} = (1-\frac{5}{6})\vec{b} + \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{6}\vec{a}$

$\vec{OP} = \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b}$