直交座標系 $(x, y, z)$ の各軸方向の単位ベクトルをそれぞれ $\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z$ とする。ベクトル $\mathbf{a} = \mathbf{e}_x - 3\mathbf{e}_y + \mathbf{e}_z$ と $\mathbf{b} = 2\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_y - 2\mathbf{e}_z$ について、以下の計算を行う問題です。 (1) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を計算する。 (2) $\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b})$ を計算する（問題文には $\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b}) = 2\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}^2$ とありますが、これは誤りです。正しくはベクトル積を計算します）。 (3) $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b})$ を計算する（問題文には $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a}^2 - \mathbf{b}^2$とありますが、ベクトル積なのでこれは誤りです）。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

直交座標系 $(x, y, z)$ の各軸方向の単位ベクトルをそれぞれ $\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z$ とする。ベクトル $\mathbf{a} = \mathbf{e}_x - 3\mathbf{e}_y + \mathbf{e}_z$ と $\mathbf{b} = 2\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_y - 2\mathbf{e}_z$ について、以下の計算を行う問題です。

(1) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を計算する。

(2) $\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b})$ を計算する（問題文には $\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b}) = 2\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}^2$ とありますが、これは誤りです。正しくはベクトル積を計算します）。

(3) $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b})$ を計算する（問題文には $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a}^2 - \mathbf{b}^2$とありますが、ベクトル積なのでこれは誤りです）。

2. 解き方の手順

(1) $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ の計算

ベクトル積の定義に従い、各成分を計算します。

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (\mathbf{e}_x - 3\mathbf{e}_y + \mathbf{e}_z) \times (2\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_y - 2\mathbf{e}_z)$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = ((-3) \times (-2) - 1 \times 1) \mathbf{e}_x - (1 \times (-2) - 1 \times 2) \mathbf{e}_y + (1 \times 1 - (-3) \times 2) \mathbf{e}_z$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (6 - 1) \mathbf{e}_x - (-2 - 2) \mathbf{e}_y + (1 + 6) \mathbf{e}_z$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 5 \mathbf{e}_x + 4 \mathbf{e}_y + 7 \mathbf{e}_z$

(2) $\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b})$ の計算

まず、$2\mathbf{a} + \mathbf{b}$ を計算します。

$2\mathbf{a} = 2(\mathbf{e}_x - 3\mathbf{e}_y + \mathbf{e}_z) = 2\mathbf{e}_x - 6\mathbf{e}_y + 2\mathbf{e}_z$

$2\mathbf{a} + \mathbf{b} = (2\mathbf{e}_x - 6\mathbf{e}_y + 2\mathbf{e}_z) + (2\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_y - 2\mathbf{e}_z) = 4\mathbf{e}_x - 5\mathbf{e}_y$

次に、$\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b})$ を計算します。

$\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b}) = (2\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_y - 2\mathbf{e}_z) \times (4\mathbf{e}_x - 5\mathbf{e}_y)$

$\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ 2 & 1 & -2 \\ 4 & -5 & 0 \end{vmatrix}$

$\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b}) = (1 \times 0 - (-2) \times (-5)) \mathbf{e}_x - (2 \times 0 - (-2) \times 4) \mathbf{e}_y + (2 \times (-5) - 1 \times 4) \mathbf{e}_z$

$\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b}) = (0 - 10) \mathbf{e}_x - (0 + 8) \mathbf{e}_y + (-10 - 4) \mathbf{e}_z$

$\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b}) = -10\mathbf{e}_x - 8\mathbf{e}_y - 14\mathbf{e}_z$

(3) $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b})$ の計算

まず、$\mathbf{a} + \mathbf{b}$ と $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ を計算します。

$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (\mathbf{e}_x - 3\mathbf{e}_y + \mathbf{e}_z) + (2\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_y - 2\mathbf{e}_z) = 3\mathbf{e}_x - 2\mathbf{e}_y - \mathbf{e}_z$

$\mathbf{a} - \mathbf{b} = (\mathbf{e}_x - 3\mathbf{e}_y + \mathbf{e}_z) - (2\mathbf{e}_x + \mathbf{e}_y - 2\mathbf{e}_z) = -\mathbf{e}_x - 4\mathbf{e}_y + 3\mathbf{e}_z$

次に、$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b})$ を計算します。

$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = (3\mathbf{e}_x - 2\mathbf{e}_y - \mathbf{e}_z) \times (-\mathbf{e}_x - 4\mathbf{e}_y + 3\mathbf{e}_z)$

$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ 3 & -2 & -1 \\ -1 & -4 & 3 \end{vmatrix}$

$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = ((-2) \times 3 - (-1) \times (-4)) \mathbf{e}_x - (3 \times 3 - (-1) \times (-1)) \mathbf{e}_y + (3 \times (-4) - (-2) \times (-1)) \mathbf{e}_z$

$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = (-6 - 4) \mathbf{e}_x - (9 - 1) \mathbf{e}_y + (-12 - 2) \mathbf{e}_z$

$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = -10\mathbf{e}_x - 8\mathbf{e}_y - 14\mathbf{e}_z$

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 5\mathbf{e}_x + 4\mathbf{e}_y + 7\mathbf{e}_z$

(2) $\mathbf{b} \times (2\mathbf{a} + \mathbf{b}) = -10\mathbf{e}_x - 8\mathbf{e}_y - 14\mathbf{e}_z$

(3) $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = -10\mathbf{e}_x - 8\mathbf{e}_y - 14\mathbf{e}_z$