三角形ABCにおいて、$AB=3, BC=4, \tan A = 2\sqrt{3}$ である。 このとき、$\cos A$, $AC$, 角$B$、三角形ABCの外接円の半径R、辺BC上に$\triangle ABM$の面積が3となるように点Mをとるときの$BM$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3, BC=4, \tan A = 2\sqrt{3}$ である。

このとき、$\cos A$, $AC$, 角$B$、三角形ABCの外接円の半径R、辺BC上に$\triangle ABM$の面積が3となるように点Mをとるときの$BM$の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos A$ の計算

$\tan^2 A + 1 = \frac{1}{\cos^2 A}$ より、$\cos^2 A = \frac{1}{1+\tan^2 A} = \frac{1}{1+(2\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1+12} = \frac{1}{13}$

$0 < A < 90^\circ$ より $\cos A = \sqrt{\frac{1}{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13}$

(2) $AC$ の計算

$\triangle ABC$ について、余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos A$

$4^2 = 3^2 + AC^2 - 2\cdot 3 \cdot AC \cdot \frac{\sqrt{13}}{13}$

$16 = 9 + AC^2 - \frac{6\sqrt{13}}{13} AC$

$AC^2 - \frac{6\sqrt{13}}{13} AC - 7 = 0$

$\sqrt{13}AC^2 - 6AC - 7\sqrt{13} = 0$

$(\sqrt{13}AC+7)(AC-\sqrt{13}) = 0$

$AC>0$より、$AC = \sqrt{13}$

(3) 角$B$ の計算

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2AB\cdot BC} = \frac{3^2+4^2-(\sqrt{13})^2}{2\cdot 3 \cdot 4} = \frac{9+16-13}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

$0^\circ < B < 180^\circ$ より、$B=60^\circ$

(4) 外接円の半径 $R$ の計算

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin B} = 2R$

$R = \frac{AC}{2\sin B} = \frac{\sqrt{13}}{2\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{13}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3}$

(5) $BM$ の計算

$\triangle ABM$ の面積が 3 より、$\frac{1}{2}AB\cdot BM \sin B = 3$

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot BM \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$

$BM = \frac{3\cdot 4}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{\sqrt{13}}{13}$

$AC = \sqrt{13}$

$B = 60^\circ$

$R = \frac{\sqrt{39}}{3}$

$BM = \frac{4\sqrt{3}}{3}$