ベクトル $\mathbf{A} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$, $\mathbf{B} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}$, $\mathbf{C} = \mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$ が与えられたとき、以下の計算をせよ。 (1) スカラー三重積 $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$ (2) ベクトル三重積 $\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{A} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$, $\mathbf{B} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}$, $\mathbf{C} = \mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$ が与えられたとき、以下の計算をせよ。

(1) スカラー三重積 $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$

(2) ベクトル三重積 $\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$

2. 解き方の手順

(1) スカラー三重積 $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$ を計算する。まず、ベクトル積 $\mathbf{B} \times \mathbf{C}$ を計算する。

$\mathbf{B} \times \mathbf{C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 3)\mathbf{i} - (2 \cdot (-2) - (-1) \cdot 1)\mathbf{j} + (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1)\mathbf{k} = \mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$

次に、$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$ を計算する。

$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}) \cdot (\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 5\mathbf{k}) = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 3 + (-3) \cdot 5 = 1 - 6 - 15 = -20$

(2) ベクトル三重積 $\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$ を計算する。公式 $\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C})\mathbf{B} - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})\mathbf{C}$ を利用する。

まず、$\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$ を計算する。

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} = (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}) \cdot (\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}) = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) = 1 - 6 + 6 = 1$

次に、$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ を計算する。

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}) \cdot (2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}) = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + (-3) \cdot (-1) = 2 - 2 + 3 = 3$

よって、

$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C})\mathbf{B} - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})\mathbf{C} = 1 \cdot (2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}) - 3 \cdot (\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}) = (2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}) - (3\mathbf{i} + 9\mathbf{j} - 6\mathbf{k}) = -\mathbf{i} - 8\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = -20$

(2) $\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = -\mathbf{i} - 8\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$