複素数平面上の原点Oと異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ が以下の条件(A), (B), (C)を満たしている。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して点Oと反対側にある。 (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形。 (1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表すと、$p=0, q=-\frac{|z_1|}{|z_2|}, r=\frac{|z_2|}{|z_1|}, s=1$ である。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表しなさい。

1. 問題の内容

複素数平面上の原点Oと異なる3点 $z_1, z_2, z_3$ が以下の条件(A), (B), (C)を満たしている。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点 $z_3$ は2点 $z_1, z_2$ を通る直線に関して点Oと反対側にある。

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$ は正三角形。

(1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2$, $\alpha z_2 = rz_1 + sz_2$ となる実数 $p, q, r, s$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表すと、$p=0, q=-\frac{|z_1|}{|z_2|}, r=\frac{|z_2|}{|z_1|}, s=1$ である。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$ となる実数 $a, b$ をそれぞれ $|z_1|, |z_2|$ を用いて表しなさい。

2. 解き方の手順

(2)

条件(B), (C)より、$z_3$ は $z_2$ を $z_1$ のまわりに $\frac{\pi}{3}$ 回転した点であるから、

$\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \alpha$

$z_3 - z_1 = \alpha (z_2 - z_1) = \alpha z_2 - \alpha z_1$

$z_3 = z_1 + \alpha z_2 - \alpha z_1 = z_1 + \alpha z_2 - (pz_1 + qz_2) = z_1 + \alpha z_2 - (0 \cdot z_1 - \frac{|z_1|}{|z_2|} z_2) = z_1 + \alpha z_2 + \frac{|z_1|}{|z_2|} z_2$

$z_3 = z_1 + r z_1 + s z_2 + \frac{|z_1|}{|z_2|} z_2 = z_1 + \frac{|z_2|}{|z_1|} z_1 + z_2 + \frac{|z_1|}{|z_2|} z_2 = (1 + \frac{|z_2|}{|z_1|}) z_1 + (1 + \frac{|z_1|}{|z_2|}) z_2$

したがって、$a = 1 + \frac{|z_2|}{|z_1|}$、$b = 1 + \frac{|z_1|}{|z_2|}$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 1 + \frac{|z_2|}{|z_1|}$

$b = 1 + \frac{|z_1|}{|z_2|}$