三角形ABCにおいて、a=5, b=6, c=9のとき、cosC、sinC、および三角形ABCの面積Sを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、a=5, b=6, c=9のとき、cosC、sinC、および三角形ABCの面積Sを求めます。

2. 解き方の手順

(1) cosCを求める

余弦定理を用いてcosCを計算します。余弦定理は以下の通りです。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

この式をcosCについて解くと、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

与えられた値を代入すると、

$\cos C = \frac{5^2 + 6^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 81}{60} = \frac{-20}{60} = -\frac{1}{3}$

(2) sinCを求める

三角関数の恒等式 $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ を用いてsinCを計算します。

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C$

$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C}$

$\cos C = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin C = \sqrt{1 - (-\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

三角形の内角なので、$0 < C < \pi$ です。したがって、$\sin C > 0$ なので、正の平方根のみを取ります。

(3) 三角形ABCの面積Sを求める

三角形の面積を計算するために、$S = \frac{1}{2}ab \sin C$ を用います。

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{60\sqrt{2}}{6} = 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) cosC = $-\frac{1}{3}$

(2) sinC = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(3) S = $10\sqrt{2}$