底面の1辺の長さが $a$, 高さが $h$ の正四角錐Aがある。Aの底面の1辺の長さを2倍にし、高さを $\frac{2}{3}$ 倍にした正四角錐Bを作るとき、Bの体積はAの体積の何倍になるかを求める。

1. 問題の内容

底面の1辺の長さが $a$, 高さが $h$ の正四角錐Aがある。Aの底面の1辺の長さを2倍にし、高さを $\frac{2}{3}$ 倍にした正四角錐Bを作るとき、Bの体積はAの体積の何倍になるかを求める。

2. 解き方の手順

正四角錐の体積の公式は、$\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$ である。

正四角錐Aの体積を $V_A$ とすると、底面積は $a^2$ なので、

$V_A = \frac{1}{3} \times a^2 \times h = \frac{1}{3} a^2 h$

正四角錐Bの体積を $V_B$ とすると、底面の1辺の長さは $2a$, 高さは $\frac{2}{3}h$ なので、底面積は $(2a)^2 = 4a^2$。

$V_B = \frac{1}{3} \times (2a)^2 \times \frac{2}{3}h = \frac{1}{3} \times 4a^2 \times \frac{2}{3}h = \frac{8}{9} a^2 h$

$V_B$ は $V_A$ の何倍かを求めるには、$\frac{V_B}{V_A}$ を計算する。

$\frac{V_B}{V_A} = \frac{\frac{8}{9} a^2 h}{\frac{1}{3} a^2 h} = \frac{8}{9} \times \frac{3}{1} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$ 倍