底面の1辺の長さが $a$、高さが $h$ の正四角錐Aがある。Aの底面の1辺の長さを2倍にし、高さを $\frac{2}{3}$ 倍にした正四角錐Bを作るとき、Bの体積はAの体積の何倍になるか。

1. 問題の内容

底面の1辺の長さが $a$、高さが $h$ の正四角錐Aがある。Aの底面の1辺の長さを2倍にし、高さを $\frac{2}{3}$ 倍にした正四角錐Bを作るとき、Bの体積はAの体積の何倍になるか。

2. 解き方の手順

まず、正四角錐Aの体積を求めます。正四角錐の体積は $\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$ で求められます。

Aの底面積は $a^2$ なので、Aの体積は、

$V_A = \frac{1}{3} \times a^2 \times h = \frac{1}{3}a^2h$

次に、正四角錐Bの体積を求めます。

Bの底面の1辺の長さは $2a$、高さは $\frac{2}{3}h$ です。

Bの底面積は $(2a)^2 = 4a^2$ なので、Bの体積は、

$V_B = \frac{1}{3} \times (2a)^2 \times \frac{2}{3}h = \frac{1}{3} \times 4a^2 \times \frac{2}{3}h = \frac{8}{9}a^2h$

最後に、Bの体積がAの体積の何倍になるかを求めます。

$\frac{V_B}{V_A} = \frac{\frac{8}{9}a^2h}{\frac{1}{3}a^2h} = \frac{8}{9} \times \frac{3}{1} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$ 倍