極方程式 $r = \frac{1}{3-\cos\theta}$ で表される曲線Cについて、以下の問いに答えます。 (1) 曲線Cを直交座標$(x, y)$に関する方程式で表す。 (2) 曲線Cの方程式を整理する。 (3) 曲線C上の点Pについて、$AP+BP$を求める。ここで、$A, B$は曲線Cの2つの焦点である。 (4) $A, B$の座標を求める。

1. 問題の内容

極方程式 $r = \frac{1}{3-\cos\theta}$ で表される曲線Cについて、以下の問いに答えます。

(1) 曲線Cを直交座標$(x, y)$に関する方程式で表す。

(2) 曲線Cの方程式を整理する。

(3) 曲線C上の点Pについて、$AP+BP$を求める。ここで、$A, B$は曲線Cの2つの焦点である。

(4) $A, B$の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $r = \frac{1}{3 - \cos\theta}$より、$3r - r\cos\theta = 1$となる。これより、$3r = r\cos\theta + 1$。

$r\cos\theta = x$，$r = \sqrt{x^2 + y^2}$であるから、$3\sqrt{x^2 + y^2} = x + 1$。

両辺を2乗して、$9(x^2 + y^2) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$。

整理して、$9x^2 + 9y^2 = x^2 + 2x + 1$、つまり$8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$。

さらに変形すると、$8x^2 - 2x + 9y^2 - 1 = 0$。

(2) (1)で求めた式を整理する。

$8(x^2 - \frac{1}{4}x) + 9y^2 = 1$

$8(x - \frac{1}{8})^2 - 8(\frac{1}{64}) + 9y^2 = 1$

$8(x - \frac{1}{8})^2 + 9y^2 = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$

$\frac{8(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{8}} + \frac{9y^2}{\frac{9}{8}} = 1$

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$

(3) 楕円 $\frac{(x-a)^2}{A^2} + \frac{(y-b)^2}{B^2} = 1$ において、$AP + BP = 2A$である。

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$より、$A^2 = \frac{9}{64}$なので、$A = \frac{3}{8}$。

よって、$2A = 2(\frac{3}{8}) = \frac{3}{4}$。

$AP + BP = \frac{3}{4}$

(4) 楕円の中心は$(\frac{1}{8}, 0)$。$A^2 = \frac{9}{64}$, $B^2 = \frac{1}{8} = \frac{8}{64}$なので、$c^2 = A^2 - B^2 = \frac{9}{64} - \frac{8}{64} = \frac{1}{64}$。

よって、$c = \frac{1}{8}$。

焦点は$(\frac{1}{8} \pm \frac{1}{8}, 0)$なので、焦点は$(0, 0)$と$(\frac{1}{4}, 0)$。

A, Bをそれぞれ$(0,0), (\frac{1}{4}, 0)$とする。

3. 最終的な答え

$3r = r\cos\theta + 1$

$8x^2 + 9y^2 - 2x - 1 = 0$

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$

$AP + BP = \frac{3}{4}$

A$(0, 0)$, B$(\frac{1}{4}, 0)$