問題は3つあります。 * **基本11-1:** $AB=3$, $BC=7$, $CA=8$ である $\triangle ABC$ の面積が $6\sqrt{3}$ であるとき、$\triangle ABC$ の内接円の半径を求めよ。 * **基本11-2:** $AB=4$, $BC=7$, $CA=6$ である $\triangle ABC$ がある。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $P$ とするとき、線分 $BP$ の長さを求めよ。 * **基本11-3:** 右の図において、$\triangle ABD$ の面積が14であるとき、$\triangle ACD$ の面積を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

問題は3つあります。

* **基本11-1:** $AB=3$, $BC=7$, $CA=8$ である $\triangle ABC$ の面積が $6\sqrt{3}$ であるとき、$\triangle ABC$ の内接円の半径を求めよ。

* **基本11-2:** $AB=4$, $BC=7$, $CA=6$ である $\triangle ABC$ がある。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $P$ とするとき、線分 $BP$ の長さを求めよ。

* **基本11-3:** 右の図において、$\triangle ABD$ の面積が14であるとき、$\triangle ACD$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

* **基本11-1:**

$\triangle ABC$ の面積を $S$, 内接円の半径を $r$ とすると、$S = \frac{1}{2}(AB+BC+CA)r$ が成り立ちます。

この式に与えられた値を代入して $r$ を求めます。

$AB = 3$, $BC = 7$, $CA = 8$, $S = 6\sqrt{3}$ なので、

$6\sqrt{3} = \frac{1}{2}(3+7+8)r$

$6\sqrt{3} = \frac{1}{2}(18)r$

$6\sqrt{3} = 9r$

$r = \frac{6\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

* **基本11-2:**

$\triangle ABC$ の $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $P$ とすると、$BP : PC = AB : AC$ が成り立ちます。

$AB = 4$, $AC = 6$, $BC = 7$ なので、

$BP : PC = 4 : 6 = 2 : 3$

$BP = x$ とおくと、$PC = 7-x$ であるから、

$x : (7-x) = 2 : 3$

$3x = 2(7-x)$

$3x = 14 - 2x$

$5x = 14$

$x = \frac{14}{5}$

したがって、$BP = \frac{14}{5}$

* **基本11-3:**

$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ は、頂点 $A$ を共有し、底辺が $BD$ と $CD$ にそれぞれあります。

$BD : DC = 5 : 2$ なので、$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ の面積比は $5:2$ です。

$\triangle ACD$ の面積を $S$ とすると、

$14 : S = 5 : 2$

$5S = 14 \times 2 = 28$

$S = \frac{28}{5}$

3. 最終的な答え

* **基本11-1:** $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

* **基本11-2:** $\frac{14}{5}$

* **基本11-3:** $\frac{28}{5}$