以下の変換を表す行列を求める問題です。 (1) 平面上で点をx軸に対称な点に移す。 (2) 平面上で点をy軸に対称な点に移す。 (3) 平面上で点を原点に対称な点に移す。 (4) 平面上で点を直線y=-xに対称な点に移す。 (5) 平面上で点を原点のまわりに90°回転させる。 (6) 空間内で点をz軸のまわりに45°回転させる。 (7) 空間内で点をy軸のまわりに60°回転させる。
2025/6/5
1. 問題の内容
以下の変換を表す行列を求める問題です。
(1) 平面上で点をx軸に対称な点に移す。
(2) 平面上で点をy軸に対称な点に移す。
(3) 平面上で点を原点に対称な点に移す。
(4) 平面上で点を直線y=-xに対称な点に移す。
(5) 平面上で点を原点のまわりに90°回転させる。
(6) 空間内で点をz軸のまわりに45°回転させる。
(7) 空間内で点をy軸のまわりに60°回転させる。
2. 解き方の手順
(1) x軸に関する対称変換
点(x,y)をx軸に関して対称な点(x,-y)に移す変換です。
これは、
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
で表されます。
(2) y軸に関する対称変換
点(x,y)をy軸に関して対称な点(-x,y)に移す変換です。
これは、
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
で表されます。
(3) 原点に関する対称変換
点(x,y)を原点に関して対称な点(-x,-y)に移す変換です。
これは、
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
で表されます。
(4) 直線y=-xに関する対称変換
点(x,y)を直線y=-xに関して対称な点(-y,-x)に移す変換です。
これは、
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
で表されます。
(5) 原点のまわりに90°回転させる変換
点(x,y)を原点のまわりに90°回転させた点(-y,x)に移す変換です。
これは、
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos{90^\circ} & -\sin{90^\circ} \\
\sin{90^\circ} & \cos{90^\circ}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
で表されます。
(6) z軸のまわりに45°回転させる変換
点(x,y,z)をz軸のまわりに45°回転させる変換です。
これは、
\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos{45^\circ} & -\sin{45^\circ} & 0 \\
\sin{45^\circ} & \cos{45^\circ} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
で表されます。
(7) y軸のまわりに60°回転させる変換
点(x,y,z)をy軸のまわりに60°回転させる変換です。
これは、
\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos{60^\circ} & 0 & \sin{60^\circ} \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin{60^\circ} & 0 & \cos{60^\circ}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
0 & 1 & 0 \\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
で表されます。
3. 最終的な答え
(1)
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
(2)
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
(3)
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
(4)
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
(5)
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
(6)
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
(7)
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
0 & 1 & 0 \\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}