16. 2点A(-3, 0), B(3, 0)からの距離の2乗の和が20である点Pの軌跡を求める。 17. 点A(-2, 0)からの距離と点B(1, 0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

1

6. 2点A(-3, 0), B(3, 0)からの距離の2乗の和が20である点Pの軌跡を求める。

1

7. 点A(-2, 0)からの距離と点B(1, 0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

1

6. 点Pの座標を(x, y)とする。

点Aからの距離の2乗は$(x+3)^2 + y^2$、点Bからの距離の2乗は$(x-3)^2 + y^2$である。

これらの和が20なので、

$(x+3)^2 + y^2 + (x-3)^2 + y^2 = 20$

$x^2 + 6x + 9 + y^2 + x^2 - 6x + 9 + y^2 = 20$

$2x^2 + 2y^2 + 18 = 20$

$2x^2 + 2y^2 = 2$

$x^2 + y^2 = 1$

1

7. 点Pの座標を(x, y)とする。

点Aからの距離は$\sqrt{(x+2)^2 + y^2}$、点Bからの距離は$\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$である。

距離の比が2:1なので、

$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} : \sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2 : 1$

$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$(x+2)^2 + y^2 = 4((x-1)^2 + y^2)$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2$

$0 = 3x^2 - 12x + 3y^2$

$0 = x^2 - 4x + y^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

3. 最終的な答え

1

6. $x^2 + y^2 = 1$

1

7. $(x - 2)^2 + y^2 = 4$