次の円の方程式を求めます。 (1) 中心 $(4, -1)$, 半径 $6$ (2) 点 $(-3, 4)$ を中心とし、原点を通る (3) 2点 $(-3, 6), (3, -2)$ を直径の両端とする

1. 問題の内容

次の円の方程式を求めます。

(1) 中心 $(4, -1)$, 半径 $6$

(2) 点 $(-3, 4)$ を中心とし、原点を通る

(3) 2点 $(-3, 6), (3, -2)$ を直径の両端とする

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式は、中心 $(a, b)$, 半径 $r$ のとき、$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ で表されます。中心 $(4, -1)$, 半径 $6$ なので、

$(x-4)^2 + (y-(-1))^2 = 6^2$

$(x-4)^2 + (y+1)^2 = 36$

(2) 中心 $(-3, 4)$ で、原点 $(0, 0)$ を通るので、半径 $r$ は、中心と原点との距離として求められます。

$r = \sqrt{(-3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

よって、円の方程式は、

$(x-(-3))^2 + (y-4)^2 = 5^2$

$(x+3)^2 + (y-4)^2 = 25$

(3) 2点 $(-3, 6), (3, -2)$ を直径の両端とするので、中心は2点の中点です。

中心の座標は $\left(\frac{-3+3}{2}, \frac{6+(-2)}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{4}{2}\right) = (0, 2)$

半径は、中心 $(0, 2)$ と点 $(3, -2)$ との距離です。

$r = \sqrt{(3-0)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

よって、円の方程式は、

$(x-0)^2 + (y-2)^2 = 5^2$

$x^2 + (y-2)^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $(x-4)^2 + (y+1)^2 = 36$

(2) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 25$

(3) $x^2 + (y-2)^2 = 25$