極方程式 $r = \frac{1}{3-\cos{\theta}}$ で表される曲線 C が与えられている。$3r = r\cos{\theta} + \boxed{1}$ より、曲線 C を直交座標 $(x, y)$ についての方程式で表し、$x^2$ と $y^2$ の係数や $x$ の係数などを求める。その後、この曲線が楕円であることを利用して、$AP+BP$ の値を求め、焦点 A, B の座標を求めよ。

1. 問題の内容

極方程式 $r = \frac{1}{3-\cos{\theta}}$ で表される曲線 C が与えられている。$3r = r\cos{\theta} + \boxed{1}$ より、曲線 C を直交座標 $(x, y)$ についての方程式で表し、$x^2$ と $y^2$ の係数や $x$ の係数などを求める。その後、この曲線が楕円であることを利用して、$AP+BP$ の値を求め、焦点 A, B の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$r = \frac{1}{3 - \cos{\theta}}$ を変形して $3r - r\cos{\theta} = 1$ を得る。

問題文にあるように、$3r = r\cos{\theta} + 1$ である。

ここで、$x = r\cos{\theta}$, $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ を代入すると、

$3\sqrt{x^2 + y^2} = x + 1$

両辺を2乗して、$9(x^2 + y^2) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$9x^2 + 9y^2 = x^2 + 2x + 1$

$8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$

$8x^2 - 2x + 9y^2 - 1 = 0$

したがって、$8x^2 + 9y^2 - 2x - 1 = 0$となる。

次に、$8x^2 - 2x + 9y^2 = 1$ を変形する。

$8(x^2 - \frac{1}{4}x) + 9y^2 = 1$

$8(x - \frac{1}{8})^2 - 8(\frac{1}{64}) + 9y^2 = 1$

$8(x - \frac{1}{8})^2 + 9y^2 = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$

$\frac{8}{9} (x - \frac{1}{8})^2 + y^2 = \frac{1}{8} \times \frac{8}{9} \times 8 + \frac{1}{8} =1$

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{\frac{9}{64}} + \frac{y^2}{\frac{1}{8}} = 1$

$\frac{(x - \frac{1}{8})^2}{(\frac{3}{8})^2} + \frac{y^2}{(\frac{\sqrt{2}}{4})^2} = 1$

これは楕円の方程式であり、$a = \frac{3}{8}$, $b = \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{8}$ である。

$a^2 = \frac{9}{64}$, $b^2 = \frac{2}{16} = \frac{8}{64}$

$c^2 = a^2 - b^2 = \frac{9}{64} - \frac{8}{64} = \frac{1}{64}$, $c = \frac{1}{8}$

楕円の焦点は中心$(\frac{1}{8}, 0)$ から $\pm c$ の位置にある。

よって、焦点の座標は $(\frac{1}{8} \pm \frac{1}{8}, 0)$ であり、$(0, 0)$ と $(\frac{1}{4}, 0)$ である。

楕円上の点Pについて、$AP+BP=2a = 2\times \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$ である。

3. 最終的な答え

$3r = r\cos{\theta} + \boxed{1}$

$\boxed{8}x^2 + \boxed{9}y^2 - \boxed{2}x - \boxed{1} = 0$

$\boxed{8}(x - \boxed{\frac{1}{8}})^2 + \boxed{9}y^2 = \boxed{\frac{9}{8}}$

$AP+BP = \boxed{3/4}$

A$(\boxed{0}, \boxed{0})$, B$(\boxed{1/4}, \boxed{0})$