正九角形の頂点から3個を選んで三角形を作るとき、以下の問いに答える。 (1) 全部で何個の三角形ができるか。 (2) 正九角形と2辺を共有する三角形は何個あるか。 (3) 正九角形と1辺を共有する三角形は何個あるか。 (4) 正九角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

1. 問題の内容

正九角形の頂点から3個を選んで三角形を作るとき、以下の問いに答える。

(1) 全部で何個の三角形ができるか。

(2) 正九角形と2辺を共有する三角形は何個あるか。

(3) 正九角形と1辺を共有する三角形は何個あるか。

(4) 正九角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 全部で何個の三角形ができるか。

9個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考える。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できる。

この場合、$n=9$ で $r=3$ である。

$_{9}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

(2) 正九角形と2辺を共有する三角形は何個あるか。

正九角形の2つの辺を共有する三角形は、正九角形の各頂点に対して1つずつ存在する。したがって、9個の三角形が存在する。

(3) 正九角形と1辺を共有する三角形は何個あるか。

正九角形の1つの辺を共有する三角形を考える。正九角形の1つの辺を選んだとき、その辺以外の頂点を選ぶ必要がある。正九角形のある辺の両隣の頂点を選ぶと、2辺を共有する三角形になるので、これを除外する。また、選んだ辺の頂点を選んでしまうと三角形にならない。

したがって、9個の頂点から、選んだ辺の2つの頂点と両隣の2つの頂点を除いた、残りの5個の頂点から1つを選ぶことになる。正九角形の辺は9個あるので、$9 \times 5 = 45$ 個となる。ただし、この数え方だと、2辺を共有する三角形が含まれていないので問題ない。

(4) 正九角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

(1)で求めた三角形の総数から、(2)と(3)で求めた三角形の数を引けばよい。

$84 - 9 - 45 = 30$

3. 最終的な答え

(1) 84個

(2) 9個

(3) 45個

(4) 30個