次の方程式がどのような図形を表すかを答えます。 (1) $y^2 = 4x + 8$ (3) $x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 4 = 0$ (5) $x^2 - y^2 + 4x + 6y - 6 = 0$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の方程式がどのような図形を表すかを答えます。

(1) $y^2 = 4x + 8$

(3) $x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 4 = 0$

(5) $x^2 - y^2 + 4x + 6y - 6 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式は、$y^2 = 4x + 8$です。これを変形すると、

$y^2 = 4(x + 2)$

これは放物線の方程式であり、頂点が $(-2, 0)$ で、焦点が $x = -1$ の放物線を表します。

(3)

与えられた式は、$x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 4 = 0$です。

これを平方完成すると、

$(x^2 - 4x) + 4(y^2 + 2y) + 4 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + 4(y^2 + 2y + 1) + 4 - 4 - 4 = 0$

$(x - 2)^2 + 4(y + 1)^2 = 4$

$\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y + 1)^2}{1} = 1$

これは楕円の方程式であり、中心が $(2, -1)$ で、長軸の長さが $2a = 4$、短軸の長さが $2b = 2$ の楕円を表します。

(5)

与えられた式は、$x^2 - y^2 + 4x + 6y - 6 = 0$です。

これを平方完成すると、

$(x^2 + 4x) - (y^2 - 6y) - 6 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) - (y^2 - 6y + 9) - 6 - 4 + 9 = 0$

$(x + 2)^2 - (y - 3)^2 = 1$

これは双曲線の方程式であり、中心が $(-2, 3)$ の双曲線を表します。

3. 最終的な答え

(1) 放物線

(3) 楕円

(5) 双曲線