図のように、正三角形ABCの辺BCをCの方向に延長した直線上に点Dをとり、線分ADを1辺とする正三角形ADEをつくる。(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACE$ であることを証明する穴埋め問題。(2) $\angle DCE$ の大きさを求める。(3) BC:CD = 3:4 のとき、四角形ACDEの面積は $\triangle ABD$ の面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

図のように、正三角形ABCの辺BCをCの方向に延長した直線上に点Dをとり、線分ADを1辺とする正三角形ADEをつくる。(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACE$ であることを証明する穴埋め問題。(2) $\angle DCE$ の大きさを求める。(3) BC:CD = 3:4 のとき、四角形ACDEの面積は $\triangle ABD$ の面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ において、

正三角形の性質より、$AB = AC$ ...①、$AD = AE$ ...②

$\angle BAC = \angle DAE = 60^\circ$ ...③

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$ ...④

$\angle CAE = \angle DAE + \angle CAD$ ...⑤

③より、$\angle BAD = 60^\circ + \angle CAD$ ...⑥

$\angle CAE = 60^\circ + \angle CAD$ ...⑦

⑥、⑦より、$\angle BAD = \angle CAE$ ...⑧

①、②、⑧より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \equiv \triangle ACE$

I に当てはまる角: $\angle BAD$

II に当てはまる角: $\angle DAE$

III に当てはまる式: $\angle BAD = \angle CAE$

IV に当てはまる合同条件: 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

(2) $\angle DCE = 180^\circ - \angle ACB - \angle ACD = 180^\circ - 60^\circ - \angle ACD = 120^\circ - \angle ACD$

また、$\angle ADC + \angle DAC + \angle ACD = 180^\circ$

$\angle AED = \angle ADE = 60^\circ$ なので、$\angle ADB = 180^\circ - \angle ADE - \angle EDB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\triangle ABD \equiv \triangle ACE$ より、$\angle ABD = \angle ACE$。

$\angle DCE$ を求めることは難しいので、他の角度を求める。

(3) BC:CD = 3:4 のとき、BC=3x, CD=4xとする。

$\triangle ABC$ と $\triangle ADE$ は正三角形なので相似である。

$\frac{CD}{BC} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3}$

四角形ACDEの面積は $\triangle ABD$ の面積の何倍か。

これは難しそうです。

3. 最終的な答え

(1) I: $\angle BAD$, II: $\angle DAE$, III: $\angle BAD = \angle CAE$, IV: 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

(2) わからない

(3) わからない