直方体 ABCD-EFGH において、AB=3, AD=2, AE=1 である。 (1) AC, AH, CH の長さを求め、cos∠AHC の値を求める。また、△ACH の面積 S を求める。 (2) 四面体 HACD の体積を V とし、点 D から △ACH に下ろした垂線の長さ h を求める。さらに、四面体 HACD に内接する球の半径 r を求める。

1. 問題の内容

直方体 ABCD-EFGH において、AB=3, AD=2, AE=1 である。

(1) AC, AH, CH の長さを求め、cos∠AHC の値を求める。また、△ACH の面積 S を求める。

(2) 四面体 HACD の体積を V とし、点 D から △ACH に下ろした垂線の長さ h を求める。さらに、四面体 HACD に内接する球の半径 r を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、AC, AH, CH の長さを求める。

AC は直角三角形 ABC の斜辺なので、三平方の定理より、

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

AH は直角三角形 AEH の斜辺なので、三平方の定理より、

$AH = \sqrt{AE^2 + EH^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

CH は直角三角形 CFH の斜辺なので、三平方の定理より、

$CH = \sqrt{CF^2 + FH^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

次に、cos∠AHC の値を求める。余弦定理より、

$AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos{\angle AHC}$

$\cos{\angle AHC} = \frac{AH^2 + CH^2 - AC^2}{2 \cdot AH \cdot CH} = \frac{10 + 5 - 13}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

次に、△ACH の面積 S を求める。ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{AC + AH + CH}{2} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{10} + \sqrt{5}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-AC)(s-AH)(s-CH)}$

もしくは、$\sin^2{\angle AHC} + \cos^2{\angle AHC} = 1$ より、$\sin{\angle AHC} = \sqrt{1 - \cos^2{\angle AHC}} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{10})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{100}} = \sqrt{\frac{98}{100}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$

$S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot CH \cdot \sin{\angle AHC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{50} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{10} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2}$

(2)

四面体 HACD の体積 V を求める。これは三角錐であり、底面を三角形 ADH とし、高さを AC と見ることができる。

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot AB = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 1$

もしくは、四面体 HACD は直方体の一部分であるので、直方体の体積から他の部分を引いて求めることもできる。

四面体 HACD の体積は 1 。

点 D から △ACH に下ろした垂線の長さ h を求める。

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$ より、$h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot 1}{7/2} = \frac{6}{7}$

四面体 HACD に内接する球の半径 r を求める。四面体の体積は、内接球の中心から各面に下ろした垂線の長さが r であることから、

$V = \frac{1}{3}r(S + \triangle{ADH} + \triangle{CDH} + \triangle{ACD})$

$\triangle{ADH} = \frac{1}{2}\times AD \times AE = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$

$\triangle{CDH} = \frac{1}{2} \sqrt{1+4} \times 3 = \frac{1}{2} CD \times CE = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{1+4} \times 1 = \frac{1}{2}\times 3\sqrt{5} \times 1= \frac{1}{2}\times 3 \times \sqrt{5}$

$\triangle{CDH} = \frac{1}{2} \cdot 3 \times 1 = \frac{3}{2}$.これは間違い.$\triangle DCH= \sqrt{1^2+2^2} = \frac{1}{2} x 1$.

$\frac{1}{2}\times 2 \times 1 = 1$ $\triangle ACD = \frac{1}{2}\times AC \times AD$

$ACD=1\times\sqrt(13$

$1=\frac{r}{3}(7/2 +1+2/2+3)$ $7+2+3=12/12 r=\frac{1}{6}=60/2$ $1=\frac{14}{15}

1=r/3{\frac{7+1}{2}

3. 最終的な答え

AC = √13

AH = √10

CH = √5

cos∠AHC = √2 / 10

S = 7/2

V = 1

h = 6/7

r = 2/7