直線 $l: y = mx + 2$ が円 $C: x^2 + (y+1)^2 = 1$ に接するような定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = mx + 2$ が円 $C: x^2 + (y+1)^2 = 1$ に接するような定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

直線と円が接するということは、円の中心と直線との距離が円の半径に等しいということです。

円 $C: x^2 + (y+1)^2 = 1$ の中心は $(0, -1)$ であり、半径は $1$ です。

直線 $l: y = mx + 2$ を $mx - y + 2 = 0$ と変形します。

点と直線の距離の公式を用いて、円の中心 $(0, -1)$ と直線 $mx - y + 2 = 0$ の距離 $d$ を求めます。

$d = \frac{|m \cdot 0 - (-1) + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

直線と円が接するとき、$d = 1$ であるので、

$\frac{|3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$

両辺を二乗すると、

$\frac{9}{m^2 + 1} = 1$

$9 = m^2 + 1$

$m^2 = 8$

$m = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$m = 2\sqrt{2}, -2\sqrt{2}$