直線 $l: y = mx + 6$ が円 $C: x^2 + y^2 = 9$ に接するような定数 $m$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $l: y = mx + 6$ が円 $C: x^2 + y^2 = 9$ に接するような定数 $m$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の中心と直線の距離が、円の半径に等しくなるとき、直線は円に接します。

円 $C: x^2 + y^2 = 9$ の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $3$ です。

直線 $l: y = mx + 6$ を $mx - y + 6 = 0$ と変形します。

点 $(0, 0)$ と直線 $mx - y + 6 = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より

$d = \frac{|m \cdot 0 - 0 + 6|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

直線が円に接するとき $d = 3$ となるので、

$\frac{|6|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3$

両辺を2乗すると

$\frac{36}{m^2 + 1} = 9$

$36 = 9(m^2 + 1)$

$4 = m^2 + 1$

$m^2 = 3$

$m = \pm \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$m = \sqrt{3}, -\sqrt{3}$