円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + k$ が異なる2点で交わるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + k$ が異なる2点で交わるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離が円の半径より小さいことです。

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は1です。

直線 $y = x + k$ は $x - y + k = 0$ と書き換えられます。

点と直線の距離の公式を使って、原点 $(0, 0)$ と直線 $x - y + k = 0$ の距離 $d$ を計算します。

$d = \frac{|0 - 0 + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$

円と直線が異なる2点で交わる条件は $d < 1$ であるから、

$\frac{|k|}{\sqrt{2}} < 1$

$|k| < \sqrt{2}$

$-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}$