三角形ABCが半径 $\frac{2\sqrt{14}}{7}$ の円に内接しており、$cos \angle BAC = -\frac{\sqrt{2}}{4}$、$AC = 1$である。このとき、$sin \angle BAC$, $BC$, $sin \angle ABC$, $cos \angle ABC$, $AB$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCが半径 $\frac{2\sqrt{14}}{7}$ の円に内接しており、$cos \angle BAC = -\frac{\sqrt{2}}{4}$、$AC = 1$である。このとき、$sin \angle BAC$, $BC$, $sin \angle ABC$, $cos \angle ABC$, $AB$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $sin \angle BAC$を求める。

$sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$の関係より、

$sin^2 \angle BAC = 1 - cos^2 \angle BAC = 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

$\angle BAC$は三角形の内角であるから、sinの値は正なので

$sin \angle BAC = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$

(2) $BC$を求める。

正弦定理より、$\frac{BC}{sin \angle BAC} = 2R$（Rは外接円の半径）

$BC = 2R \cdot sin \angle BAC = 2 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{7} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} = \frac{4 \cdot 14}{7 \cdot 4} = 2$

(3) $AB$を求める。

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos \angle BAC$

$2^2 = AB^2 + 1^2 - 2 \cdot AB \cdot 1 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{4})$

$4 = AB^2 + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}AB$

$AB^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}AB - 3 = 0$

解の公式より、$AB = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 4(-3)}}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{2}{4} + 12}}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{48+2}{4}}}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{50}{4}}}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}}{2}$

$AB = \frac{-\sqrt{2} \pm 5\sqrt{2}}{4}$

$AB = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$ または $AB = \frac{-6\sqrt{2}}{4} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$

$AB$は長さなので、$AB > 0$

$AB = \sqrt{2}$

(4) $sin \angle ABC$と $cos \angle ABC$を求める。

正弦定理より、$\frac{AC}{sin \angle ABC} = 2R$

$sin \angle ABC = \frac{AC}{2R} = \frac{1}{2 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{7}} = \frac{7}{4\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{4 \cdot 14} = \frac{\sqrt{14}}{8}$

$cos \angle ABC = \pm\sqrt{1 - sin^2 \angle ABC} = \pm\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{14}}{8})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{14}{64}} = \pm\sqrt{\frac{50}{64}} = \pm\frac{\sqrt{50}}{8} = \pm\frac{5\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

$sin \angle BAC = \frac{\sqrt{14}}{4}$

$BC = 2$

$sin \angle ABC = \frac{\sqrt{14}}{8}$

$cos \angle ABC = \pm\frac{5\sqrt{2}}{8}$

$AB = \sqrt{2}$