三角形ABCにおいて、以下の3つの小問題に答えます。 (1) $AB=10$, $BC=8$, $B=120^\circ$ のとき、$CA$を求めます。 (2) $BC=\sqrt{3}$, $CA=\sqrt{7}$, $B=30^\circ$ のとき、$AB$を求めます。 (3) $AB=\sqrt{3}+1$, $BC=2$, $CA=\sqrt{6}$ のとき、$A$, $B$, $C$を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の3つの小問題に答えます。

(1) $AB=10$, $BC=8$, $B=120^\circ$ のとき、$CA$を求めます。

(2) $BC=\sqrt{3}$, $CA=\sqrt{7}$, $B=30^\circ$ のとき、$AB$を求めます。

(3) $AB=\sqrt{3}+1$, $BC=2$, $CA=\sqrt{6}$ のとき、$A$, $B$, $C$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用います。

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

$CA^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos{120^\circ}$

$CA^2 = 100 + 64 - 160 \cdot (-\frac{1}{2})$

$CA^2 = 164 + 80 = 244$

$CA = \sqrt{244} = \sqrt{4 \cdot 61} = 2\sqrt{61}$

(2) 余弦定理を用います。

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

$(\sqrt{7})^2 = AB^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot AB \cdot \sqrt{3} \cdot \cos{30^\circ}$

$7 = AB^2 + 3 - 2 \cdot AB \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$7 = AB^2 + 3 - 3AB$

$AB^2 - 3AB - 4 = 0$

$(AB - 4)(AB + 1) = 0$

$AB = 4$ または $AB = -1$

$AB > 0$ より $AB = 4$

(3) 余弦定理を用います。

$\cos{A} = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot CA}$

$\cos{A} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{6})^2 - 2^2}{2 \cdot (\sqrt{3}+1) \cdot \sqrt{6}}$

$\cos{A} = \frac{3+2\sqrt{3}+1 + 6 - 4}{2 \sqrt{6} (\sqrt{3}+1)}$

$\cos{A} = \frac{6+2\sqrt{3}}{2 \sqrt{6} (\sqrt{3}+1)}$

$\cos{A} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6} (\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{6} (\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$A = 45^\circ$

$\cos{B} = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$

$\cos{B} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2 + 2^2 - (\sqrt{6})^2}{2 \cdot (\sqrt{3}+1) \cdot 2}$

$\cos{B} = \frac{3+2\sqrt{3}+1 + 4 - 6}{4 (\sqrt{3}+1)}$

$\cos{B} = \frac{2+2\sqrt{3}}{4 (\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{4 (\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{2}$

$B = 60^\circ$

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $CA = 2\sqrt{61}$

(2) $AB = 4$

(3) $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$, $C = 75^\circ$