正七角形に関する以下の2つの問題を解きます。 (1) 正七角形の3つの頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。 (2) 正七角形の対角線の本数を求めます。

1. 問題の内容

正七角形に関する以下の2つの問題を解きます。

(1) 正七角形の3つの頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。

(2) 正七角形の対角線の本数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正七角形の頂点から3つを選んで三角形を作る組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの問題なので、$n$ 個から $r$ 個を選ぶ組み合わせの数 $_{n}C_{r}$ は、以下の式で計算できます。

$_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

この場合、$n=7$（正七角形の頂点の数）、$r=3$（三角形を作るために選ぶ頂点の数）なので、

$_{7}C_{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) 正七角形の頂点の数は7です。対角線は、ある頂点から自分自身と隣り合う2つの頂点以外の頂点に引ける線のことです。

まず、7つの頂点から2つの頂点を選ぶ組み合わせの総数を計算します。これは $_{7}C_{2}$ です。

$_{7}C_{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

この21本の線の中には、正七角形の辺も含まれています。正七角形の辺の数は7なので、21から7を引くと対角線の本数が求められます。

$21 - 7 = 14$

あるいは、一般に対角線の数は $n$ 角形の場合 $\frac{n(n-3)}{2}$ で求められるので、$n=7$ を代入すると、

$\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$

3. 最終的な答え

(1) 正七角形の3つの頂点を結んでできる三角形の個数は35個です。

(2) 正七角形の対角線の本数は14本です。