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球 S の球面上に4点 A, B, C, D がある。3点 A, B, C を通る円の中心を P とすると、線分 DP はこの円に垂直である。AB = 6, BC = $2\sqrt{5}$, CA = $4\sqrt{2}$, AD = $2\sqrt{15}$ のとき、次の問いに答えよ。 (1) 三角形 ABC の面積を求めよ。 (2) 線分 AP の長さを求めよ。 (3) 四面体 ABCD の体積を求めよ。 (4) 球 S の半径と球 S の表面積を求めよ。

幾何学空間図形四面体球ヘロンの公式外接円体積表面積
2025/6/5

1. 問題の内容

球 S の球面上に4点 A, B, C, D がある。3点 A, B, C を通る円の中心を P とすると、線分 DP はこの円に垂直である。AB = 6, BC = 252\sqrt{5}, CA = 424\sqrt{2}, AD = 2152\sqrt{15} のとき、次の問いに答えよ。
(1) 三角形 ABC の面積を求めよ。
(2) 線分 AP の長さを求めよ。
(3) 四面体 ABCD の体積を求めよ。
(4) 球 S の半径と球 S の表面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形 ABC の面積を求める。
ヘロンの公式を使う。s = (AB + BC + CA) / 2 であり、s = (6 + 252\sqrt{5} + 424\sqrt{2} ) / 2 = 3 + 5\sqrt{5} + 222\sqrt{2} である。
三角形の面積 S は
S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
S=(3+5+22)(−3+5+22)(3−5+22)(3+5−22)S = \sqrt{(3+\sqrt{5}+2\sqrt{2})(-3+\sqrt{5}+2\sqrt{2})(3-\sqrt{5}+2\sqrt{2})(3+\sqrt{5}-2\sqrt{2})}
まずは、(−3+5+22)(3+5−22)(-3+\sqrt{5}+2\sqrt{2})(3+\sqrt{5}-2\sqrt{2}) を計算する。
=(5+22)2−32=5+8+410−9=4+410= (\sqrt{5}+2\sqrt{2})^2 - 3^2 = 5+8+4\sqrt{10}-9 = 4+4\sqrt{10}
次に、 (3+5+22)(3−5+22)(3+\sqrt{5}+2\sqrt{2})(3-\sqrt{5}+2\sqrt{2}) を計算する。
=(3+22)2−(5)2=9+8+122−5=12+122= (3+2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2 = 9+8+12\sqrt{2} - 5 = 12+12\sqrt{2}
S=(4+410)(12+122)=48(1+10)(1+2)S = \sqrt{(4+4\sqrt{10})(12+12\sqrt{2})} = \sqrt{48(1+\sqrt{10})(1+\sqrt{2})}
余弦定理を使う。
cos⁡B=(AB2+BC2−CA2)/(2⋅AB⋅BC)=(36+20−32)/(2⋅6⋅25)=24/(245)=1/5\cos{B} = (AB^2 + BC^2 - CA^2)/(2 \cdot AB \cdot BC) = (36 + 20 - 32)/(2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{5}) = 24/(24\sqrt{5}) = 1/\sqrt{5}
sin⁡2B=1−cos⁡2B=1−1/5=4/5\sin^2{B} = 1 - \cos^2{B} = 1 - 1/5 = 4/5
sin⁡B=2/5\sin{B} = 2/\sqrt{5}
S=(1/2)⋅AB⋅BC⋅sin⁡B=(1/2)⋅6⋅25⋅(2/5)=12S = (1/2) \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B} = (1/2) \cdot 6 \cdot 2\sqrt{5} \cdot (2/\sqrt{5}) = 12
(2) 線分 AP の長さを求める。
三角形 ABC の外接円の半径 R は、R=abc4S=6⋅25⋅424⋅12=481048=10R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2}}{4 \cdot 12} = \frac{48\sqrt{10}}{48} = \sqrt{10}
AP は外接円の半径なので、AP=10AP = \sqrt{10}
(3) 四面体 ABCD の体積を求めよ。
DP は円に垂直なので、DP を高さと考えることができる。
AD = 2152\sqrt{15}, AP = 10\sqrt{10}
DP=AD2−AP2=(215)2−(10)2=60−10=50=52DP = \sqrt{AD^2 - AP^2} = \sqrt{(2\sqrt{15})^2 - (\sqrt{10})^2} = \sqrt{60 - 10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
四面体 ABCD の体積 V は
V=(1/3)⋅SABC⋅DP=(1/3)⋅12⋅52=202V = (1/3) \cdot S_{ABC} \cdot DP = (1/3) \cdot 12 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}
(4) 球 S の半径と球 S の表面積を求めよ。
球の中心を O とする。OA = OB = OC = OD = r とする。
OP = x とすると、r2=AP2+x2r^2 = AP^2 + x^2
r2=(10)2+x2=10+x2r^2 = (\sqrt{10})^2 + x^2 = 10+x^2
OD2=r2=DP2+OP2=(52)2+(OD−DP)2OD^2 = r^2 = DP^2 + OP^2 = (5\sqrt{2})^2 + (OD-DP)^2
r=10+x2r = \sqrt{10+x^2}
OD=rOD = r, OP = ∣x∣|x|
OD=∣OP∣+DPOD = |OP| + DP
DP=52DP = 5\sqrt{2}
r=∣x∣+52r = |x| + 5\sqrt{2}
r2=x2+10r^2 = x^2 + 10
(∣x∣+52)2=x2+10(|x|+5\sqrt{2})^2 = x^2+10
x2+102∣x∣+50=x2+10x^2+10\sqrt{2}|x|+50 = x^2+10
102∣x∣=−4010\sqrt{2}|x| = -40
∣x∣=−4/2<0|x| = -4/\sqrt{2} < 0 これはありえない。
よって OP=22OP = 2\sqrt{2}
r=52+∣OP∣=52+22=72r = 5\sqrt{2} + |OP| = 5\sqrt{2} +2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}
表面積 = 4πr2=4⋅π⋅(72)2=4⋅π⋅98=392π4\pi r^2 = 4 \cdot \pi \cdot (7\sqrt{2})^2 = 4 \cdot \pi \cdot 98 = 392\pi

3. 最終的な答え

(1) 12
(2) 10\sqrt{10}
(3) 20220\sqrt{2}
(4) 半径: 727\sqrt{2}, 表面積: 392π392\pi

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