円 $C: (x-1)^2 + y^2 = 1$ と直線 $l: 2x + y = k$ が接するような $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

円 $C: (x-1)^2 + y^2 = 1$ と直線 $l: 2x + y = k$ が接するような $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

円 $C$ の中心は $(1, 0)$ であり、半径は $1$ である。直線 $l$ は $2x + y - k = 0$ と表せる。円と直線が接するということは、円の中心と直線の距離が円の半径に等しいということである。点と直線の距離の公式を用いると、円の中心 $(1, 0)$ と直線 $2x + y - k = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|2(1) + (0) - k|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2 - k|}{\sqrt{5}}$$

これが円の半径 $1$ に等しいので、

$$\frac{|2 - k|}{\sqrt{5}} = 1$$

$$|2 - k| = \sqrt{5}$$

$2 - k = \pm \sqrt{5}$ より、

$k = 2 \pm \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$k = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$