一辺の長さが10cmの正方形ABCDがある。点PはAを毎秒1cmで出発し辺AB上を進み、点QはBを毎秒2cmで出発し辺BC上を進む。P, Q間の距離が最小になるのは出発してから何秒後か、またその最小の距離を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが10cmの正方形ABCDがある。点PはAを毎秒1cmで出発し辺AB上を進み、点QはBを毎秒2cmで出発し辺BC上を進む。P, Q間の距離が最小になるのは出発してから何秒後か、またその最小の距離を求める。

2. 解き方の手順

出発してから$t$秒後のPとQの位置を考える。

APの長さは$t$ cm、BQの長さは$2t$ cmである。

したがって、PBの長さは$10-t$ cm、QCの長さは$10-2t$ cmである。

ただし、QがCに到達するまでの時間なので、$0 \le t \le 5$である。

PQ間の距離の2乗を$L^2$とする。三平方の定理より、

$L^2 = (10-t)^2 + (2t)^2$

$L^2 = 100 - 20t + t^2 + 4t^2$

$L^2 = 5t^2 - 20t + 100$

$L^2 = 5(t^2 - 4t) + 100$

$L^2 = 5(t^2 - 4t + 4 - 4) + 100$

$L^2 = 5(t-2)^2 - 20 + 100$

$L^2 = 5(t-2)^2 + 80$

$0 \le t \le 5$において、$L^2$が最小になるのは、$t=2$のときである。

このとき、$L^2 = 80$となるので、$L = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$である。

3. 最終的な答え

出発してから2秒後、最小の距離は$4\sqrt{5}$ cm。