三角形ABCにおいて、AB=2, AC=3, 角BAC=120°のとき、三角形ABCの面積を求めよ。また、角BACの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=2, AC=3, 角BAC=120°のとき、三角形ABCの面積を求めよ。また、角BACの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの面積を求める。三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ を用いる。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \sin(120^\circ) = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

次に、ADの長さを求める。三角形ABCの面積は、三角形ABDと三角形ACDの面積の和に等しいことを利用する。

三角形ABDの面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin(\angle BAD)$

三角形ACDの面積は、$\frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin(\angle CAD)$

$\angle BAD = \angle CAD = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$ である。

したがって、

$\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times AD \times \sin(60^\circ) + \frac{1}{2} \times 3 \times AD \times \sin(60^\circ)$

$\frac{3\sqrt{3}}{2} = AD \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}AD \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{3\sqrt{3}}{2} = AD \times \frac{\sqrt{3}}{2} (1 + \frac{3}{2})$

$\frac{3\sqrt{3}}{2} = AD \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{5}{2}$

$3 = AD \times \frac{5}{2}$

$AD = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

三角形ABCの面積：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

ADの長さ：$\frac{6}{5}$