(1) 焦点 $F$ の $y$ 座標を求める。($F$ の $y$ 座標は正) (2) 楕円上の点 $P(x_0, y_0)$ における接線 $l$ の傾きと直線 $FP$ の傾きを求める。 (3) 直線 $FP$ と $l$ のなす角を $\theta_1$, 直線 $F'P$ と $l$ のなす角を $\theta_2$ とするとき、$\tan \theta_1$ を求める。ただし、$0 < \theta_1 < \frac{\pi}{2}$, $0 < \theta_2 < \frac{\pi}{2}$ とする。

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1. 問題の内容

1. 楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a < b$) について、

(1) 焦点 $F$ の $y$ 座標を求める。($F$ の $y$ 座標は正)

(2) 楕円上の点 $P(x_0, y_0)$ における接線 $l$ の傾きと直線 $FP$ の傾きを求める。

(3) 直線 $FP$ と $l$ のなす角を $\theta_1$, 直線 $F'P$ と $l$ のなす角を $\theta_2$ とするとき、$\tan \theta_1$ を求める。ただし、$0 < \theta_1 < \frac{\pi}{2}$, $0 < \theta_2 < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ について、

(1) 焦点 $F$ の $y$ 座標を求める。($F$ の $y$ 座標は正)

(2) 双曲線上の点 $P(x_0, y_0)$ における接線 $l$ の傾きと直線 $FP$ の傾きを求める。

(3) 直線 $FP$ と $l$ のなす角を $\theta_1$, 直線 $F'P$ と $l$ のなす角を $\theta_2$ とするとき、$\theta_1 = \theta_2$ が成り立つことを示す。

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2. 解き方の手順

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1. 楕円の場合

(1) 楕円の焦点の $y$ 座標

$a < b$ なので、焦点は $y$ 軸上にあり、焦点の座標は $(0, \pm c)$ で、$c = \sqrt{b^2 - a^2}$ である。問題文より $F$ の $y$ 座標は正なので、$F$ の $y$ 座標は $c = \sqrt{b^2 - a^2}$ である。

(2) 楕円上の点 $P(x_0, y_0)$ における接線 $l$ の傾きと直線 $FP$ の傾き

楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式は $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$ である。

これを $y$ について解くと、$y = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} x + \frac{b^2}{y_0}$ となる。

したがって、接線 $l$ の傾きは $-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$ である。

直線 $FP$ の傾きは $\frac{y_0 - c}{x_0}$ である。

(3) $\tan \theta_1$ の計算

$\tan \theta_1 = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ を用いる。

ここで、$m_1$ は直線 $l$ の傾き $-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$、$m_2$ は直線 $FP$ の傾き $\frac{y_0 - c}{x_0}$ である。

$\tan \theta_1 = \left| \frac{-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} - \frac{y_0 - c}{x_0}}{1 + (-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}) (\frac{y_0 - c}{x_0})} \right|$

$= \left| \frac{-\frac{b^2 x_0^2}{a^2 y_0} - (y_0 - c)}{1 - \frac{b^2 (y_0 - c)}{a^2 y_0}} \right|$

$= \left| \frac{-b^2 x_0^2 - a^2 y_0 (y_0 - c)}{a^2 y_0 - b^2 (y_0 - c)} \right|$

$= \left| \frac{-b^2 x_0^2 - a^2 y_0^2 + a^2 y_0 c}{a^2 y_0 - b^2 y_0 + b^2 c} \right|$

点 $P(x_0, y_0)$ は楕円上の点なので、$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ より $b^2 x_0^2 + a^2 y_0^2 = a^2 b^2$

$\tan \theta_1 = \left| \frac{-a^2 b^2 + a^2 y_0 c}{a^2 y_0 - b^2 y_0 + b^2 c} \right|$

$= \left| \frac{a^2(y_0 c - b^2)}{a^2 y_0 - b^2 y_0 + b^2 c} \right|$

$= \frac{a^2(b^2 - cy_0)}{y_0(b^2-a^2)-b^2 c}$

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2. 双曲線の場合

(1) 双曲線の焦点の $y$ 座標

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ の焦点は $y$ 軸上にあり、焦点の座標は $(0, \pm c)$ で、$c = \sqrt{a^2 + b^2}$ である。問題文より $F$ の $y$ 座標は正なので、$F$ の $y$ 座標は $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ である。

(2) 双曲線上の点 $P(x_0, y_0)$ における接線 $l$ の傾きと直線 $FP$ の傾き

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式は $\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = -1$ である。

これを $y$ について解くと、$y = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} x + \frac{b^2}{y_0}$ となる。

したがって、接線 $l$ の傾きは $\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$ である。

直線 $FP$ の傾きは $\frac{y_0 - c}{x_0}$ である。

(3) $\theta_1 = \theta_2$ の証明

(省略)

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3. 最終的な答え

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1. 楕円の場合

(1) ア: $\sqrt{b^2 - a^2}$

(2) イ: $-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$、ウ: $\frac{y_0 - \sqrt{b^2 - a^2}}{x_0}$

(3) エ: $\frac{a^2(b^2 - \sqrt{b^2-a^2}y_0)}{y_0(a^2 - b^2)-b^2\sqrt{b^2-a^2}}$

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2. 双曲線の場合

(1) オ: $\sqrt{a^2 + b^2}$

(2) カ: $\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$、キ: $\frac{y_0 - \sqrt{a^2 + b^2}}{x_0}$

(3) (省略)